Đề thi ĐGNL ĐH Công an Nhân dân 2026 – Đề 1 (Phần Toán học)
Câu 1
Nhận biết
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?
a) Nếu $f'(x) > 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ đồng biến trên $K$.
b) Nếu $f'(x) \le 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $K$.
c) Nếu $f'(x) = 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ không đổi trên $K$.
d) Nếu $f'(x) \ne 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ đơn điệu trên $K$.
a) Nếu $f'(x) > 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ đồng biến trên $K$.
b) Nếu $f'(x) \le 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ nghịch biến trên $K$.
c) Nếu $f'(x) = 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ không đổi trên $K$.
d) Nếu $f'(x) \ne 0, \forall x \in K$ thì $f(x)$ đơn điệu trên $K$.
- A. 1.
- B. 2.
- C. 3.
- D. 4.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 2
Nhận biết
Biết $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \sin^2 \dfrac{x}{4} \cos^2 \dfrac{x}{4} \right) dx = \dfrac{\pi}{c} - \dfrac{a}{b}$ với $a,b,c$ là các số nguyên dương và phân số $\dfrac{a}{b}$ tối giản. Khi đó, giá trị của $P = a + b + c$ là
- A. 23.
- B. 28.
- C. 25.
- D. 32.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 3
Nhận biết
Đồ thị hàm số $y = \dfrac{mx^2 + (3m+1)x - m + 2}{x+1}$ ($m \ne 0$) có tiệm cận xiên là đường thẳng $d$. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $d$ tiếp xúc với đường tròn $(C): (x-1)^2 + (y-2)^2 = 2$. Tổng các phần tử thuộc tập $S$ là
- A. 7.
- B. 6.
- C. $\dfrac{6}{7}$.
- D. $\dfrac{5}{7}$.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 4
Nhận biết
Cho hàm số $y = ax^4 + 4x^3$ có giá trị lớn nhất bằng 1 đạt tại $x_0$. Giá trị biểu thức $2a + x_0$ là
- A. $-6$.
- B. 7.
- C. $-5$.
- D. $-7$.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 5
Nhận biết
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có hai đường trung bình kẻ từ trung điểm $M$ của $AB$ nằm trên các đường thẳng $d_1: x - 4y + 7 = 0, d_2: 3x - 2y - 9 = 0$ và tọa độ điểm $B(7;1), C(a;b)$ với $a > 0$. Giá trị biểu thức $a+b$ bằng
- A. $-4$.
- B. 11.
- C. $-2$.
- D. 18.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 6
Nhận biết
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $\alpha$ là số đo góc phẳng nhị diện $[B', AC, D']$. Giá trị $\tan \alpha$ bằng
- A. $2\sqrt{2}$.
- B. $\sqrt{2}$.
- C. $-\sqrt{2}$.
- D. $-2\sqrt{2}$.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 7
Nhận biết
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $B'C', \alpha$ là góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(A'B'C'D')$. Giá trị $\sin \alpha$ bằng
- A. $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
- B. $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$.
- C. $\dfrac{1}{2}$.
- D. $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 8
Nhận biết
Từ 12 điểm phân biệt trên mặt phẳng có thể lập được bao nhiêu vectơ khác vectơ-không?
- A. 132.
- B. 66.
- C. 24.
- D. 23.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 9
Nhận biết
Trong không gian $Oxyz$, cho ba vectơ $\vec{u}=(-8;12;9), \vec{v}=(1;2;1), \vec{w}=(a;b;c), a \ne 0$ thỏa mãn $\vec{w}$ cùng phương với $\vec{v}$ và $\vec{w}.\vec{u} = 50$. Giá trị của biểu thức $a+b+c$ bằng
- A. 8.
- B. 10.
- C. $-2$.
- D. $-8$.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 10
Nhận biết
Một tàu du lịch dự định chạy thẳng từ đảo A tới đảo B với tốc độ trung bình 15 hải lý/giờ. Tuy nhiên để tránh bão, thuyền trưởng đã cho thuyền rời đảo A theo hướng lệch một góc $20^\circ$ so với hướng dự định ban đầu. Sau khi di chuyển được 10 giờ, thuyền trưởng chuyển hướng cho tàu đi thẳng đến đảo B. Biết rằng khoảng cách giữa hai đảo A và B là 600 hải lý. Thời gian (đơn vị: giờ) con tàu đi từ đảo A đến đảo B (làm tròn đến hàng đơn vị) là
- A. 40.
- B. 39.
- C. 38.
- D. 41.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 11
Nhận biết
Hai xạ thủ Minh và Kiên cùng bắn vào bia mục tiêu một cách độc lập. Xác suất Minh bắn trúng mục tiêu là 0,7. Biết rằng xác suất có ít nhất một người bắn trúng bia là 0,94. Xác suất Kiên bắn trúng mục tiêu là
- A. 0,7.
- B. 0,8.
- C. 0,6.
- D. 0,9.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 12
Nhận biết
Nhà thiết kế muốn tạo một phong bì hình chữ nhật từ một hình vuông có đường chéo bằng 28cm. Để tạo ra được phong bì thì đầu tiên người thiết kế sẽ gấp hai góc trái và phải, sau đó gấp góc dưới và cuối cùng đóng phong bì bằng cách xếp gấp góc trên xuống. Để có thể dán phong bì đúng cách, phần giấy chồng lên nhau phải chính xác 1 cm, đồng thời sau khi đóng phong bì, góc trên không được nằm thấp hơn cạnh dưới của phong bì, quan sát hình vẽ mô tả. Chiều rộng (đơn vị: cm) lớn nhất có thể của phong bì là
- A. 10.
- B. 12.
- C. 9.
- D. 18.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 13
Nhận biết
Một chất điểm dao động điều hòa xung quanh điểm $O$ theo phương nằm ngang. Biết rằng vị trí của chất điểm đó so với $O$ tại thời điểm $t$ giây được xác định theo phương trình $x = 8\sin\left(2t + \dfrac{\pi}{2}\right) (cm)$. Trong 10 giây đầu ($0 \le t \le 10$), có bao nhiêu thời điểm tốc độ tức thời của chất điểm đạt giá trị nhỏ nhất?
- A. 3.
- B. 4.
- C. 7.
- D. 6.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 14
Nhận biết
Theo thống kê tại một nhà máy X, nếu áp dụng thời lượng làm việc mỗi tuần là 40 giờ thì mỗi tuần có 100 công nhân làm và mỗi công nhân làm trung bình được 120 sản phẩm trong một giờ. Nếu tăng thời lượng làm việc mỗi tuần thêm 2 giờ thì sẽ có thêm một công nhân nghỉ việc và năng suất lao động giảm trung bình 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ. Nếu giảm thời lượng làm việc mỗi tuần đi 2 giờ thì sẽ có thêm một công nhân mới và năng suất lao động tăng trung bình 5 sản phẩm/1 công nhân/1 giờ. Ngoài ra số phế phẩm mỗi tuần ước tính là $P(x) = \dfrac{95}{4}x^2 + 30x$, với $x$ là thời gian làm việc trong một tuần. Nhà máy nên áp dụng thời gian làm việc mỗi tuần bao nhiêu giờ để số lượng sản phẩm tốt thu được mỗi tuần là lớn nhất?
- A. 38.
- B. 42.
- C. 34.
- D. 36.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 15
Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $A(1;3;2)$ và $B(4;5;6)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(Oxy)$. Giá trị của $\cos \alpha$ bằng
- A. $\dfrac{13}{29}$.
- B. $\dfrac{16}{29}$.
- C. $\dfrac{\sqrt{377}}{29}$.
- D. $\dfrac{4\sqrt{29}}{29}$.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 16
Nhận biết
Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int f(x)dx = x^2 e^{x+5} + C$. Tổng các nghiệm của phương trình $f(x) = 0$ là
- A. $-2$.
- B. 2.
- C. 3.
- D. 0.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 17
Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng $(d_1): \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{3} = \dfrac{z+1}{4}$ và $(d_2): \begin{cases} x = 3-2t \\ y = -3t \\ z = 2-4t \end{cases}$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $(d_1)$ và $(d_2)$ có phương trình là $ax - 2y + cz + d = 0$. Giá trị biểu thức $a+c+d$ bằng
- A. 10.
- B. 21.
- C. $-12$.
- D. 12.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 18
Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(2;-1;-2)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y-1}{-1} = \dfrac{z-1}{1}$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua điểm $A$ và song song với đường thẳng $d$ sao cho khoảng cách từ đường thẳng $d$ tới mặt phẳng $(P)$ là lớn nhất. Khi đó, mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
- A. $x+3y+2z+10=0$.
- B. $x-2y-3z-1=0$.
- C. $3x+z+2=0$.
- D. $x-y-6=0$.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 19
Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, mỗi đơn vị trên trục có độ dài 10 km. Một trạm theo dõi được đặt ở gốc tọa độ và có thể phát hiện các vật thể cách nó một khoảng không quá 30 km. Một vệ tinh do thám di chuyển từ vị trí $A(4;2;1)$ đến vị trí $B\left(-1;-\dfrac{1}{2};\dfrac{7}{2}\right)$ với tốc độ 80 km/h theo một đường thẳng. Thời gian mà vệ tinh di chuyển trong phạm vi phát hiện của trạm theo dõi là bao nhiêu phút? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
- A. 16,8.
- B. 18,4.
- C. 17,4.
- D. 19,8.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 20
Nhận biết
Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó tại thời điểm $t (0 \le t \le 180)$ vật thể ở vị trí có tọa độ $(5\sin t^\circ, 4\cos t^\circ)$. Biết rằng có một vật cản hình tròn với tâm ở vị trí $I(3;0)$, bán kính $R=1$. Tại thời điểm $t_0$, khoảng cách từ vật thể đến vật cản đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. $t_0 \le 50$.
- B. $50 < t_0 \le 100$.
- C. $100 < t_0 \le 140$.
- D. $140 < t_0 \le 180$.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 21
Nhận biết
Cho hai hàm số bậc ba $f(x)=3x^3 + ax^2 + bx + c$ và $g(x)=\dfrac{1}{3}x^3 + mx^2 + nx + p$. Hàm số $y=f(x).g(x)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Biết rằng $x=0$ là điểm cực đại của hàm số $y=g(x)$. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[0;3]$ bằng
- A. $-12$.
- B. $-\dfrac{32}{9}$.
- C. $-3$.
- D. 0.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 22
Nhận biết
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=2x^2, y^2=4x$ bằng
- A. $S = \dfrac{2\pi}{3}$.
- B. $S = \dfrac{4\pi}{3}$.
- C. $S = \dfrac{4}{3}$.
- D. $S = \dfrac{2}{3}$.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 23
Nhận biết
Một phần mềm mô phỏng vận động viên tập bắn bia mục tiêu có kích thước nhỏ 42 cm x 42 cm bằng súng tiểu liên AK trong không gian $Oxyz$. Cho biết vận động viên đó sử dụng thước ngắm 3 và đứng cách xa bia mục tiêu là $100m$, trục $d$ của nòng súng và cọc đỡ bia $d'$ lần lượt có phương trình $d: \begin{cases} x=t \\ y=2 \\ z=4 \end{cases}$ và $d': \begin{cases} x=1 \\ y=2 \\ z=1-3t' \end{cases}$. Để bắn trúng hồng tâm thì vận động viên phải ngắm bắn vào điểm $N(a;b;c) \in d'$ cách giao điểm của $d$ và $d'$ một khoảng bằng 6 cm. Khi $c > 0$, giá trị của biểu thức $a+b+c$ bằng
- A. 1.
- B. $-3$.
- C. 13.
- D. 9.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 24
Nhận biết
Một công ty dự định xây dựng một khu vui chơi, giải trí trên mảnh đất hình ngũ giác đều $ABCDE$ nội tiếp trong đường tròn tâm $O$ có bán kính $R=145,56m$ và mở rộng thêm một phần đất (phần tô màu) được giới hạn bởi đường tròn có đường kính $AB$ và đường tròn $(O)$. Diện tích (đơn vị: $m^2$) của phần đất được mở rộng thêm gần nhất với số nào sau đây?
- A. 8258.
- B. 8261.
- C. 8431.
- D. 8422.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 25
Nhận biết
Một lều vải có dạng hình “lục giác cong đều” như hình vẽ. Biết rằng đáy của lều vải là một lục giác đều có cạnh bằng 3m, mặt trên của lều là một lục giác đều có cạnh bằng 1m, chiều cao $OO' = 3$ m. Các sợi dây $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ nằm trên đường parabol có trục đối xứng song song với $OO'$ và có đỉnh trùng với các đỉnh của đáy lều vải. Thể tích (đơn vị: $m^3$) phần không gian nằm trong lều xấp xỉ
- A. 33,7.
- B. 32,5.
- C. 23,4.
- D. 22,5.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 26
Nhận biết
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho tam giác nhọn $ABC$ có $E(2;2;1), F\left(\dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{8}{3}\right), O(0;0;0)$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $A, B, C$ xuống các cạnh $BC, CA, AB$. Mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$, chứa $Ox$ và tạo với đường thẳng $d: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z}{-1}$ một góc $\alpha$. Giá trị của $\cos \alpha$ xấp xỉ
- A. 0,16.
- B. 0,94.
- C. 0,24.
- D. 0,97.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 27
Nhận biết
Ba bạn Hà Anh, Đăng Dũng, Lê Sơn là ba bạn đạt điểm kiểm tra tuần cao nhất của kỳ thi khảo sát do Trường học số 4.0 tổ chức. Ngoài khen thưởng, các thầy cô quyết định tổ chức một trò chơi bốc thăm cho ba bạn, người bốc trúng lá thăm may mắn sẽ nhận được thêm một phần quà. Có tất cả 100 lá thăm trong đó có 20 lá thăm may mắn. Ba bạn Hà Anh, Đăng Dũng, Lê Sơn lần lượt được bốc theo thứ tự đó, xác suất để Lê Sơn nhận được phần quà là
- A. 0,15.
- B. 0,8.
- C. 0,65.
- D. 0,2.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 28
Nhận biết
Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai mặt cầu $(S_1), (S_2)$ lần lượt có phương trình là $x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z-22=0, x^2+y^2+z^2-6x+4y+2z+5=0$. Xét các mặt phẳng $(P)$ thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với cả hai mặt cầu đã cho. Gọi $A(a;b;c)$ là điểm mà tất cả các mặt phẳng $(P)$ đi qua. Giá trị biểu thức $S = a+b+c$ là
- A. $S = \dfrac{5}{2}$.
- B. $S = -\dfrac{5}{2}$.
- C. $S = \dfrac{9}{2}$.
- D. $S = -\dfrac{9}{2}$.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 29
Nhận biết
Dựa vào thông tin cung cấp dưới đây để trả lời các câu hỏi từ 29 đến 31.
Để nghiên cứu mối liên quan giữa thói quen hút thuốc lá với bệnh viêm phế quản và viêm phổi, nhà nghiên cứu chọn một nhóm gồm 5000 người đàn ông. Với mỗi người trong nhóm, nhà nghiên cứu kiểm tra xem họ có nghiện thuốc lá và có bị bệnh hay không. Kết quả được thống kê trong bảng sau:
Chọn ngẫu nhiên một người đàn ông trong nhóm được khảo sát.
Câu 29. Xác suất người đó mắc bệnh viêm phổi hoặc viêm phế quản là
- A. 0,3830.
- B. 0,2146.
- C. 0,3614.
- D. 0,5560.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 30
Nhận biết
Biết rằng người đó không bị bệnh. Xác suất người đó nghiện thuốc lá xấp xỉ
- A. 0,32.
- B. 0,47.
- C. 0,35.
- D. 0,68.
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Câu 31
Nhận biết
Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 31 đến câu 35.
Câu 31. Biết rằng nếu một người nghiện thuốc lá thì xác suất người đó bị bệnh là 0,5. Hỏi xác suất mắc bệnh của một người nghiện thuốc lá gấp bao nhiêu lần một người không nghiện thuốc lá? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Đáp án: (31)
Câu 32. Trong không gian $Oxyz$ cho các điểm $A(1;2;0), B(5;3;-1), C(2;3;-4)$. Gọi $M$ là điểm thay đổi sao cho các đường thẳng $MA, MB, MC$ hợp với mặt phẳng $(ABC)$ các góc bằng nhau; $N$ là điểm thay đổi trên mặt cầu $(S): \left(x+\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(y+\dfrac{1}{3}\right)^2 + \left(z+\dfrac{2}{3}\right)^2 = 6$. Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn $MN$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: (32)
Câu 33. Bản vẽ dưới đây là một tác phẩm dự thi của nhà thiết kế trong cuộc thiết kế sân khấu ngoài trời. Hình 1 biểu diễn sân khấu ban đầu; khi mở rộng phần sân khấu trung tâm, ta thu được Hình 2. Quá trình thiết kế sân khấu được mô tả như sau:
Bước 1: Vẽ hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng 3, lấy trung điểm của bốn cạnh lần lượt là $E, F, G, H$.
Bước 2: Vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm $B, C, H$ và hàm bậc hai đi qua ba điểm $F, D, A$.
Bước 3: Vẽ đồ thị của các hàm bậc hai đi qua ba điểm $A, B, G$ và hàm bậc hai đi qua ba điểm $C, D, E$.
Tính diện tích sân khấu trung tâm (phần tô màu trong Hình 2). (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án: (33)
Câu 34. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 10 chữ số đôi một khác nhau, trong đó các chữ số 1; 2; 3; 4; 5 được xếp theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải và chữ số 6 luôn đứng trước chữ số 5?
Đáp án: (34)
Câu 35. Một hồ nước được hình thành giữa một lớp đất đá, hồ có độ sâu lớn nhất bằng 5,8 mét và chiều dài lớn nhất theo phương ngang là 10 mét.
Xét trong hệ trục tọa độ $Oxy$ phù hợp, đơn vị trên mỗi trục tính bằng mét, đường ranh giới giữa hồ nước và lớp đất được mô hình hoá bởi hàm số $f(x) = ax^3 - bx^2$ ($a,b \in \mathbb{R}$), trong đó hai bên bờ là điểm $H(0;0)$ và $P(10;0)$. Các nhà khoa học cần đặt một camera tại điểm $Q(0;h)$ để ghi lại hình ảnh của hồ nước. Nhà khoa học cần đặt vị trí camera cách điểm $H$ một khoảng tối thiểu bằng bao nhiêu để có thể ghi lại hình ảnh toàn bộ hồ khi nước cạn?
Đáp án: (35)
Lát kiểm tra lại
Phương pháp giải
Lời giải
Đề thi ĐGNL ĐH Công an Nhân dân 2026 – Đề 1 (Phần Toán học)
Số câu: 35 câu
Thời gian làm bài: 90 phút
Phạm vi kiểm tra:
Bạn đã làm xong bài này, có muốn xem kết quả?
