Trắc Nghiệm Đại Số Tuyến Tính – Đề 1

Trắc nghiệm Đại số tuyến tính – Đề 1 là một trong những bài kiểm tra quan trọng thuộc môn Đại số tuyến tính tại các trường đại học chuyên ngành Khoa học Máy tính và Toán học. Đề thi này giúp sinh viên kiểm tra lại các kiến thức cơ bản như ma trận, định thức, không gian vector, và hệ phương trình tuyến tính. Đề thi thường được ra bởi các giảng viên có chuyên môn cao, chẳng hạn như thầy Nguyễn Thế Anh – giảng viên bộ môn Toán học tại trường Đại học Bách khoa Hà Nội.

Đề thi trắc nghiệm Đại số tuyến tính thường dành cho sinh viên năm 2, giúp củng cố nền tảng toán học vững chắc để phục vụ cho các môn học chuyên ngành. Hãy cùng dethitracnghiem.vn tìm hiểu kỹ hơn về đề thi này và tham gia kiểm tra ngay nhé!

Trắc Nghiệm Đại Số Tuyến Tính – Đề 1 (có đáp án)

Câu 1: Cho A=(100−310213)A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}A=​1−32​011​003​​, B=(2−13014001)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}B=​200​−110​341​​. Tính $\text{det}(3AB)$:
A. 162
B. 18
C. 6
D. 20

Câu 2: Cho $A$ và $B$ là hai ma trận vuông cấp 5. Giả sử dòng 2 của $A$ bằng 0 và cột 3 của $B$ bằng 0. Đặt $C=AB$, khi đó ta có:
A. dòng 2 và cột 2 của $C$ bằng 0
B. dòng 3 và cột 3 của $C$ bằng 0
C. dòng 2 và cột 3 của $C$ bằng 0
D. dòng 3 và cột 2 của $C$ bằng 0

Câu 3: Gọi $V$ là không gian nghiệm của hệ {x1+x2+x3+x4+x5=02×1+3×2+4×3+5×4+6×5=0(m+1)x1+5×2+6×3+7×4+2(m+1)x5=0\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 0 \\ 2x_1 + 3x_2 + 4x_3 + 5x_4 + 6x_5 = 0 \\ (m + 1)x_1 + 5x_2 + 6x_3 + 7x_4 + 2(m + 1)x_5 = 0 \end{cases}⎩⎨⎧​x1​+x2​+x3​+x4​+x5​=02x1​+3x2​+4x3​+5x4​+6x5​=0(m+1)x1​+5x2​+6x3​+7x4​+2(m+1)x5​=0​. Tìm $m$ để $\text{dim}V$ lớn nhất:
A. m = 1
B. m = 11
C. m = 7
D. m = 3

Câu 4: Cho hai hệ phương trình $AX=0$ (1) và $AX=B$ (2) với $A$ là ma trận $m\times n$. Cho phát biểu sai?
A. Nếu $m=n$ và (1) có duy nhất nghiệm thì (2) có duy nhất nghiệm.
B. Nếu (1) có duy nhất nghiệm thì (2) có nghiệm.
C. Nếu (1) có vô số nghiệm thì chưa chắc (2) có nghiệm.
D. Nếu (2) có vô số nghiệm thì (1) có vô số nghiệm.

Câu 5: Hệ vectơ nào sau đây không phải là không gian con của R3\mathbb{R}^3R3:
A. $V=\{(x-y,y,0)\mid x,y\in \mathbb{R}\}$
B. $V=\{(x-y+z,z-y,x)\mid x,y,z\in \mathbb{R}\}$
C. $V$ gồm tất cả các vectơ được sinh ra bởi hệ $\{(1,2,1),(-2,0,1),(1,2,-3),(3,-2,1)\}$
D. $V=\{(x,y,xy)\mid x,y\in \mathbb{R}\}$

Câu 6: Cho $A$ và $B$ là các ma trận vuông cùng cấp và khả nghịch, đặt C=(35AT)(74B)C = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ A^T & \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ B \end{pmatrix}C=(3AT​5​)(7B​4). Khi đó:
A. C−1=2120(AT)−1C^{-1} = \frac{21}{20} (A^T)^{-1}C−1=2021​(AT)−1
B. C−1=2120B−1(A−1)TC^{-1} = \frac{21}{20} B^{-1} (A^{-1})^TC−1=2021​B−1(A−1)T
C. C−1=2120(BT)−1C^{-1} = \frac{21}{20} (B^T)^{-1}C−1=2021​(BT)−1
D. C−1=2021B−1(A−1)TC^{-1} = \frac{20}{21} B^{-1} (A^{-1})^TC−1=2120​B−1(A−1)T

Câu 7: Cho hệ phương trình tuyến tính $AX=B$ với $R(A)=m$. Khi đó:
A. Hệ có nghiệm
B. Hệ vô nghiệm
C. Hệ có vô số nghiệm
D. Hệ có nghiệm duy nhất

Câu 8: Cho hệ phương trình tuyến tính {x1+x2+2×3+3×4=0x1+x2+3×3+5×4=0\begin{cases} x_1 + x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 0 \\ x_1 + x_2 + 3x_3 + 5x_4 = 0 \end{cases}{x1​+x2​+2x3​+3x4​=0x1​+x2​+3x3​+5x4​=0​. Hệ vectơ nào sau đây là hệ nghiệm cơ bản của hệ:
A. V1=(1,0,−2,1)V_1 = (1, 0, -2, 1)V1​=(1,0,−2,1)
B. V1=(1,0,−2,1),V2=(−2,2,0,0),V3=(0,1,−2,1)V_1 = (1, 0, -2, 1), V_2 = (-2, 2, 0, 0), V_3 = (0, 1, -2, 1)V1​=(1,0,−2,1),V2​=(−2,2,0,0),V3​=(0,1,−2,1)
C. V1=(1,0,−2,1),V2=(1,1,1,0)V_1 = (1, 0, -2, 1), V_2 = (1, 1, 1, 0)V1​=(1,0,−2,1),V2​=(1,1,1,0)
D. V1=(1,0,−2,1),V2=(0,1,−2,1)V_1 = (1, 0, -2, 1), V_2 = (0, 1, -2, 1)V1​=(1,0,−2,1),V2​=(0,1,−2,1)

Câu 9: Hệ {4x+3y=−65x+8y=1a2x+3ay=−9\begin{cases} 4x + 3y = -6 \\ 5x + 8y = 1 \\ a2x + 3ay = -9 \end{cases}⎩⎨⎧​4x+3y=−65x+8y=1a2x+3ay=−9​ có đúng 1 nghiệm khi và chỉ khi:
A. a = -1
B. a = 3
C. a = -1 hoặc a = 3
D. a≠−1a \ne -1a=−1 và a≠3a \ne 3a=3

Câu 10: Cho A=(1239)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 9 \end{pmatrix}A=(13​29​), D1=(56)D_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}D1​=(56​), D2=(59)D_2 = \begin{pmatrix} 5 \\ 9 \end{pmatrix}D2​=(59​). Gọi X1X_1X1​, X2X_2X2​ lần lượt là nghiệm của AX=D1AX = D_1AX=D1​, AX=D2AX = D_2AX=D2​. Khi đó, ta có X1−X2X_1 – X_2X1​−X2​ là:
A. (03)\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix}(03​)
B. (2−1)\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}(2−1​)
C. (−21)\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}(−21​)
D. (29)\begin{pmatrix} 2 \\ 9 \end{pmatrix}(29​)

Câu 11: Trong mô hình Input-Output mở cho ma trận hệ số đầu vào
A=(02010304)A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}A=​0000​2134​​
Gọi x1x_1x1​, x2x_2x2​ lần lượt là giá trị sản lượng đầu ra của ngành 1 và 2, d1d_1d1​, d2d_2d2​ lần lượt là yêu cầu của ngành mở đối với ngành 1 và 2. Khi đó, nếu (x1x2)=(200300)\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 200 \\ 300 \end{pmatrix}(x1​x2​​)=(200300​), thì:
A. (d1d2)=(130100)\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 130 \\ 100 \end{pmatrix}(d1​d2​​)=(130100​)
B. (d1d2)=(130220)\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 130 \\ 220 \end{pmatrix}(d1​d2​​)=(130220​)
C. (d1d2)=(130120)\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 130 \\ 120 \end{pmatrix}(d1​d2​​)=(130120​)
D. (d1d2)=(120130)\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 120 \\ 130 \end{pmatrix}(d1​d2​​)=(120130​)

Câu 12: Cho $A$ là ma trận vuông cấp $n$ với $n\ge 2$:
A. $|3A|=3|A|$
B. $-|A|=|A|$
C. Nếu $|A|=0$ thì có 1 vectơ cột của $A$ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột còn lại
D. Nếu $A$ là ma trận khả nghịch thì ∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}∣A−1∣=∣A∣1​

Câu 13: Cho A=(1214)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}A=(11​24​), B=(2−110)B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}B=(21​−10​). Tính $\text{tr}(AB)$:
A. 6
B. 5
C. 3
D. 4

Câu 14: Cho ma trận $A$ là ma trận vuông cấp $n$ và ma trận InI_nIn​ là ma trận đơn vị cấp $n$. Khi đó, ta có:
A. tr(A)=tr(AT)\text{tr}(A) = \text{tr}(A^T)tr(A)=tr(AT)
B. tr(AT)=tr(In−A)\text{tr}(A^T) = \text{tr}(I_n – A)tr(AT)=tr(In​−A)
C. $\text{tr}(A+B)=\text{tr}(A)+\text{tr}(B)$ với $A$ và $B$ là các ma trận vuông cùng cấp
D. $\text{tr}(AB)=\text{tr}(BA)$ với $A$ và $B$ là các ma trận vuông cùng cấp

Câu 15: Cho ma trận $A$ có kích thước $3\times 2$ và ma trận $B$ có kích thước $2\times 4$. Khi đó, ma trận $AB$ có kích thước:
A. $3\times 4$
B. $2\times 2$
C. $3\times 2$
D. Không xác định được

Câu 16: Cho ma trận A=(1314)A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}A=(11​34​). Tính định thức của $A$:
A. 0
B. -1
C. 5
D. 1

Câu 17: Cho ma trận A=(2314)A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}A=(21​34​). Tính A−1A^{-1}A−1:
A. (4−3−12)\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}(4−1​−32​)
B. (2−3−11)\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}(2−1​−31​)
C. (4−3−22)\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}(4−2​−32​)
D. (4/5−3/5−1/52/5)\begin{pmatrix} 4/5 & -3/5 \\ -1/5 & 2/5 \end{pmatrix}(4/5−1/5​−3/52/5​)

Câu 18: Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để
(−1+i3)n(−1+i3)n\left( -1 + i\sqrt{3} \right)^n \left( -1 + i3 \right)^n(−1+i3​)n(−1+i3)n là một số thực.
A. n = 1
B. Không tồn tại $n$
C. n = 3
D. n = 6

Câu 19: Tập hợp tất cả các số phức $|z+2i|=|z-2i|$ trong mặt phẳng phức là:
A. Trục $OX$
B. Đường tròn
C. Trục $OY$
D. Nửa mặt phẳng

Câu 20: Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để số z=(−3+i)nz = \left( -\sqrt{3} + i \right)^nz=(−3​+i)n là một số thực.
A. n = 12
B. n = 6
C. n = 3
D. n = 8

Câu 21: Giải phương trình z4+z3+3z2+z+2=0z^4 + z^3 + 3z^2 + z + 2 = 0z4+z3+3z2+z+2=0 trong $\mathbb{C}$, biết $z=i$ là một nghiệm:
A. z1,z2=±iz_1, z_2 = \pm iz1​,z2​=±i; z3,z4=−1±i3/2z_3, z_4 = -1 \pm i\sqrt{3}/2z3​,z4​=−1±i3​/2
B. z1,z2=±iz_1, z_2 = \pm iz1​,z2​=±i; z3,z4=−1±3i/2z_3, z_4 = -1 \pm 3i/2z3​,z4​=−1±3i/2
C. z1,z2=±iz_1, z_2 = \pm iz1​,z2​=±i; z3,z4=−1±i7/2z_3, z_4 = -1 \pm i\sqrt{7}/2z3​,z4​=−1±i7​/2
D. z1,z2=±iz_1, z_2 = \pm iz1​,z2​=±i; z3,z4=−1±i7z_3, z_4 = -1 \pm i\sqrt{7}z3​,z4​=−1±i7​

Câu 22: Tập hợp tất cả các số phức $$z=a(\cos 2+i\sin 2)$$ với $a\in \mathbb{R}$ trong mặt phẳng phức là:
A. Đường thẳng
B. Đường tròn
C. Nửa đường tròn
D. 3 câu trên đều sai

Câu 23: Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để số
z=(−1+i31+i)nz = \left( \frac{-1 + i\sqrt{3}}{1 + i} \right)^nz=(1+i−1+i3​​)n là một số thực.
A. n = 5
B. n = 6
C. n = 3
D. n = 12

Câu 24: Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để số
z=(−3+i)nz = \left( -\sqrt{3} + i \right)^nz=(−3​+i)n là một số thuần ảo.
A. n = 2
B. n = 3
C. n = 12
D. n = 6

Câu 25: Tìm argument $\varphi$ của số phức z=1−i3−1+iz = \frac{1 – i\sqrt{3}}{-1 + i}z=−1+i1−i3​​
A. ϕ=−7π12\phi = -\frac{7\pi}{12}ϕ=−127π​
B. ϕ=π4\phi = \frac{\pi}{4}ϕ=4π​
C. ϕ=−13π12\phi = -\frac{13\pi}{12}ϕ=−1213π​
D. ϕ=π12\phi = \frac{\pi}{12}ϕ=12π​