Đề thi tổng hợp 100 câu tích phân là một trong những tài liệu thuộc chuyên mục Tổng hợp các dạng trắc nghiệm có trong đề thi môn Toán học THPT. Đây là một tài liệu quan trọng giúp học sinh lớp 12 ôn luyện chuyên sâu chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân, một phần kiến thức trọng tâm trong chương trình Giải tích 12 và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học.
🧠 Những kiến thức cần nắm để chinh phục 100 câu trắc nghiệm tích phân
Để giải hiệu quả bộ đề này, học sinh cần nắm vững:
- Công thức nguyên hàm cơ bản và nâng cao: Bao gồm các công thức nguyên hàm của các hàm số thường gặp và các phương pháp tính nguyên hàm như đổi biến, từng phần.
- Phương pháp tính tích phân xác định và tích phân bất định: Hiểu rõ cách tính tích phân xác định và bất định, cùng với các kỹ thuật xử lý các dạng tích phân phức tạp.
- Ứng dụng của tích phân trong hình học: Áp dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, chiều dài đường cong, v.v.
- Phân dạng bài tập và kỹ năng giải nhanh: Nhận diện các dạng bài tập thường gặp và áp dụng các mẹo giải nhanh để tiết kiệm thời gian trong phòng thi.
Hãy cùng Dethitracnghiem.vn khám phá bộ Đề thi tổng hợp 100 câu tích phân và bắt đầu luyện tập ngay hôm nay để nâng cao kỹ năng và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp THPT!
Câu 1. Tính tích phân \( \int x^2\,dx \).
A. \( \int x^2\,dx = 2x + C. \)
B. \( \int x^2\,dx = x^3 + C. \)
C. \( \int x^2\,dx = 3x^2 + C. \)
D. \( \mathbf{\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C.} \)
Câu 2. Tính tích phân \( \int \cos x\,dx \).
A. \( \int \cos x\,dx = \cos x + C. \)
B. \( \int \cos x\,dx = \sin x + C. \)
C. \( \mathbf{\int \cos x\,dx = \sin x + C.} \)
D. \( \int \cos x\,dx = -\sin x + C. \)
Câu 3. Tính tích phân \( \int \frac{1}{x}\,dx \).
A. \( \int \frac{1}{x}\,dx = x + C. \)
B. \( \int \frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{x^2} + C. \)
C. \( \int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2} + C. \)
D. \( \mathbf{\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C.} \)
Câu 4. Tính tích phân \( \int e^x\,dx \).
A. \( \mathbf{\int e^x\,dx = e^x + C.} \)
B. \( \int e^x\,dx = \ln x + C. \)
C. \( \int e^x\,dx = x e^x + C. \)
D. \( \int e^x\,dx = x + C. \)
Câu 5. Tính \( \int_0^1 x\,dx \).
A. \( \int_0^1 x\,dx = 1 \)
B. \( \int_0^1 x\,dx = \frac{1}{4} \)
C. \( \int_0^1 x\,dx = \frac{3}{4} \)
D. \( \mathbf{\int_0^1 x\,dx = \frac{1}{2}} \)
Câu 6. Nguyên hàm của \( \cos(3x) \) là:
A. \( \int \cos(3x)\,dx = \sin(3x) + C. \)
B. \( \mathbf{\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C.} \)
C. \( \int \cos(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\sin(3x) + C. \)
D. \( \int \cos(3x)\,dx = 3\sin(3x) + C. \)
Câu 7. Nguyên hàm của \( 1 + \cos x \) là:
A. \( \mathbf{\int (1 + \cos x)\,dx = x + \sin x + C.} \)
B. \( \int (1 + \cos x)\,dx = \cos x + \sin x + C. \)
C. \( \int (1 + \cos x)\,dx = x + \cos x + C. \)
D. \( \int (1 + \cos x)\,dx = x\cos x + C. \)
Câu 8. Tìm nguyên hàm của \( 4x^3 \):
A. \( \int 4x^3\,dx = 4x^4 + C. \)
B. \( \int 4x^3\,dx = x^4 + C. \)
C. \( \mathbf{\int 4x^3\,dx = x^4 + C.} \)
D. \( \int 4x^3\,dx = \frac{x^5}{5} + C. \)
Câu 9. Tính tích phân \( \int \sin x\,dx \).
A. \( \int \sin x\,dx = \cos x + C. \)
B. \( \mathbf{\int \sin x\,dx = -\cos x + C.} \)
C. \( \int \sin x\,dx = -\sin x + C. \)
D. \( \int \sin x\,dx = \tan x + C. \)
Câu 10. Tính \( \int_0^{\pi} \sin x\,dx \).
A. \( \int_0^{\pi} \sin x\,dx = 0 \)
B. \( \int_0^{\pi} \sin x\,dx = \pi \)
C. \( \int_0^{\pi} \sin x\,dx = -2 \)
D. \( \mathbf{\int_0^{\pi} \sin x\,dx = 2} \)
Câu 11. Tính tích phân \( \int x\cos x\,dx \).
A. \( \mathbf{\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C.} \)
B. \( \int x\cos x\,dx = x\sin x – \cos x + C. \)
C. \( \int x\cos x\,dx = x\cos x + \sin x + C. \)
D. \( \int x\cos x\,dx = \cos x – x\sin x + C. \)
Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2025\sin x \).
A. \( \mathbf{\int 2025\sin x\, dx = -2025\cos x + C.} \)
B. \( \int 2025\sin x\, dx = \sin 2025x + C. \)
C. \( \int 2025\sin x\, dx = 2025\cos x + C. \)
D. \( \int 2025\sin x\, dx = \sin^{2025}x + C. \)
Câu 13. Nguyên hàm của \( \frac{1}{1+x^2} \):
A. \( \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \ln(1 + x^2) + C. \)
B. \( \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \tan^{-1}(x^2) + C. \)
C. \( \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = x + C. \)
D. \( \mathbf{\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \tan^{-1}x + C.} \)
Câu 14. Tích phân \( \int_0^1 x^2\,dx \) bằng:
A. \( \mathbf{\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3}} \)
B. \( \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{2} \)
C. \( \int_0^1 x^2\,dx = \frac{2}{3} \)
D. \( \int_0^1 x^2\,dx = 1 \)
Câu 15. Nguyên hàm của \( \ln x \):
A. \( \int \ln x\,dx = x\ln x + C. \)
B. \( \mathbf{\int \ln x\,dx = x\ln x – x + C.} \)
C. \( \int \ln x\,dx = \frac{\ln^2 x}{2} + C. \)
D. \( \int \ln x\,dx = \frac{1}{x} + C. \)
Câu 16. Tìm tích phân \( \int (3x^2 + 2x + 1)\,dx \):
A. \( \int (3x^2 + 2x + 1)\,dx = x^3 + x^2 + x + C. \)
B. \( \mathbf{\int (3x^2 + 2x + 1)\,dx = x^3 + x^2 + x + C.} \)
C. \( \int (3x^2 + 2x + 1)\,dx = 3x^3 + x^2 + x + C. \)
D. \( \int (3x^2 + 2x + 1)\,dx = x^3 + x + 1 + C. \)
Câu 17. Nguyên hàm của \( \sec^2 x \):
A. \( \int \sec^2 x\,dx = \cot x + C. \)
B. \( \int \sec^2 x\,dx = \sec x + C. \)
C. \( \mathbf{\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C.} \)
D. \( \int \sec^2 x\,dx = \csc x + C. \)
Câu 18. Nguyên hàm của \( \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \):
A. \( \int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = \ln|1 – x^2| + C. \)
B. \( \mathbf{\int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = \sin^{-1}x + C.} \)
C. \( \int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = \cos^{-1}x + C. \)
D. \( \int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = \tan^{-1}x + C. \)
Câu 19. Tính tích phân \( \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx \):
A. \( \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = x + C. \)
B. \( \mathbf{\int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln(x^2 + 1) + C.} \)
C. \( \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \ln|x – 1| + C. \)
D. \( \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C. \)
Câu 20. Nguyên hàm của \( \tan x \):
A. \( \mathbf{\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C.} \)
B. \( \int \tan x\,dx = \ln|\sin x| + C. \)
C. \( \int \tan x\,dx = \tan^{-1}x + C. \)
D. \( \int \tan x\,dx = \frac{\tan^2 x}{2} + C. \)
Câu 21. Tính tích phân \( \int \frac{1}{x\ln x}\,dx \).
A. \( \int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln|\ln x| + C. \)
B. \( \mathbf{\int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln|\ln x| + C.} \)
C. \( \int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \frac{1}{\ln x} + C. \)
D. \( \int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln x + C. \)
Câu 22. Tìm nguyên hàm của \( \frac{1}{\sqrt{x}} \):
A. \( \int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \ln|x| + C. \)
B. \( \int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \frac{1}{2}x^{-1/2} + C. \)
C. \( \mathbf{\int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{x} + C.} \)
D. \( \int \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \sqrt{x} + C. \)
Câu 23. Nguyên hàm của \( \frac{x+1}{x^2 + 2x + 1} \):
A. \( \int \frac{x+1}{x^2 + 2x + 1}\,dx = \ln|x^2 + 2x + 1| + C. \)
B. \( \int \frac{x+1}{x^2 + 2x + 1}\,dx = \frac{1}{x+1} + C. \)
C. \( \mathbf{\int \frac{x+1}{x^2 + 2x + 1}\,dx = \ln|x+1| + C.} \)
D. \( \int \frac{x+1}{x^2 + 2x + 1}\,dx = \ln|x| + C. \)
Câu 24. Tính tích phân \( \int x e^x\,dx \):
A. \( \int x e^x\,dx = e^x + C. \)
B. \( \mathbf{\int x e^x\,dx = x e^x – e^x + C.} \)
C. \( \int x e^x\,dx = e^x(x + 1) + C. \)
D. \( \int x e^x\,dx = x + e^x + C. \)
Câu 25. Nguyên hàm của \( \sec x\tan x \):
A. \( \int \sec x\tan x\,dx = \tan x + C. \)
B. \( \int \sec x\tan x\,dx = \cot x + C. \)
C. \( \mathbf{\int \sec x\tan x\,dx = \sec x + C.} \)
D. \( \int \sec x\tan x\,dx = \csc x + C. \)
Câu 26. Tính \( \int_0^1 (x^3 + 2x)\,dx \):
A. \( \int_0^1 (x^3 + 2x)\,dx = \frac{3}{2} \)
B. \( \int_0^1 (x^3 + 2x)\,dx = 2 \)
C. \( \mathbf{\int_0^1 (x^3 + 2x)\,dx = \frac{7}{6}} \)
D. \( \int_0^1 (x^3 + 2x)\,dx = \frac{5}{6} \)
Câu 27. Nguyên hàm của \( \frac{1}{(x+1)^2} \):
A. \( \int \frac{1}{(x+1)^2}\,dx = \ln|x+1| + C. \)
B. \( \int \frac{1}{(x+1)^2}\,dx = \frac{1}{x+1} + C. \)
C. \( \mathbf{\int \frac{1}{(x+1)^2}\,dx = -\frac{1}{x+1} + C.} \)
D. \( \int \frac{1}{(x+1)^2}\,dx = -\ln|x+1| + C. \)
Câu 28. Nguyên hàm của \( \sin^2 x \):
A. \( \int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} – \frac{\sin 2x}{2} + C. \)
B. \( \int \sin^2 x\,dx = x – \cos^2 x + C. \)
C. \( \mathbf{\int \sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} – \frac{\sin 2x}{4} + C.} \)
D. \( \int \sin^2 x\,dx = -\cos x + C. \)
Câu 29. Tính tích phân \( \int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx \):
A. \( \int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = 2x + C. \)
B. \( \int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{2}{x^2 + 1} + C. \)
C. \( \mathbf{\int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C.} \)
D. \( \int \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C. \)
Câu 30. Tính tích phân \( \int_0^1 (3x^2 – 2x + 1)\,dx \):
A. \( \int_0^1 (3x^2 – 2x + 1)\,dx = 2 \)
B. \( \mathbf{\int_0^1 (3x^2 – 2x + 1)\,dx = \frac{4}{3}} \)
C. \( \int_0^1 (3x^2 – 2x + 1)\,dx = \frac{2}{3} \)
D. \( \int_0^1 (3x^2 – 2x + 1)\,dx = 1 \)
Câu 31. Tính nguyên hàm \( \int \frac{x^2 + 1}{x}\,dx \):
A. \( \int \frac{x^2 + 1}{x}\,dx = \ln|x| + C. \)
B. \( \int \frac{x^2 + 1}{x}\,dx = x + \frac{1}{x} + C. \)
C. \( \int \frac{x^2 + 1}{x}\,dx = x^2 + \ln x + C. \)
D. \( \mathbf{\int \frac{x^2 + 1}{x}\,dx = x + \ln|x| + C.} \)
Câu 32. Nguyên hàm của \( x\ln x \):
A. \( \mathbf{\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x – \frac{x^2}{4} + C.} \)
B. \( \int x\ln x\,dx = x^2\ln x – x^2 + C. \)
C. \( \int x\ln x\,dx = \frac{1}{2}x\ln x + C. \)
D. \( \int x\ln x\,dx = \ln x + x + C. \)
Câu 33. Nguyên hàm của \( \cos^2 x \):
A. \( \int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{2} + C. \)
B. \( \mathbf{\int \cos^2 x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C.} \)
C. \( \int \cos^2 x\,dx = -\cos 2x + C. \)
D. \( \int \cos^2 x\,dx = \sin x + C. \)
Câu 34. Tính tích phân \( \int (x^2 + 4)\,dx \):
A. \( \int (x^2 + 4)\,dx = x^2 + 4x + C. \)
B. \( \int (x^2 + 4)\,dx = 2x^2 + 4x + C. \)
C. \( \mathbf{\int (x^2 + 4)\,dx = \frac{x^3}{3} + 4x + C.} \)
D. \( \int (x^2 + 4)\,dx = \frac{x^2}{2} + 4x + C. \)
Câu 35. Tìm \( \int_1^e \frac{1}{x}\,dx \):
A. \( \int_1^e \frac{1}{x}\,dx = 0 \)
B. \( \mathbf{\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = 1} \)
C. \( \int_1^e \frac{1}{x}\,dx = e \)
D. \( \int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \ln(e – 1) \)
Câu 36. Nguyên hàm của \( \frac{x}{(x+1)^2} \):
A. \( \mathbf{\int \frac{x}{(x+1)^2}\,dx = \ln|x+1| – \frac{1}{x+1} + C.} \)
B. \( \int \frac{x}{(x+1)^2}\,dx = \frac{x}{x+1} + C. \)
C. \( \int \frac{x}{(x+1)^2}\,dx = \ln|x| + \frac{1}{x+1} + C. \)
D. \( \int \frac{x}{(x+1)^2}\,dx = -\frac{1}{(x+1)^2} + C. \)
Câu 37. Tính tích phân \( \int_0^1 \ln x\,dx \):
A. \( \int_0^1 \ln x\,dx = 1 \)
B. \( \int_0^1 \ln x\,dx = 0 \)
C. \( \int_0^1 \ln x\,dx = \ln 2 \)
D. \( \mathbf{\int_0^1 \ln x\,dx = -1} \)
Câu 38. Tính tích phân \( \int x^2 e^x\,dx \):
A. \( \int x^2 e^x\,dx = e^x(x^2 – 2x + 2) + C. \)
B. \( \mathbf{\int x^2 e^x\,dx = e^x(x^2 – 2x + 2) + C.} \)
C. \( \int x^2 e^x\,dx = e^x(x^2 + 2x + 2) + C. \)
D. \( \int x^2 e^x\,dx = x^2 e^x + C. \)
Câu 39. Nguyên hàm của \( \frac{1}{1 – x^2} \):
A. \( \mathbf{\int \frac{1}{1 – x^2}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1 + x}{1 – x}\right| + C.} \)
B. \( \int \frac{1}{1 – x^2}\,dx = \ln|1 – x^2| + C. \)
C. \( \int \frac{1}{1 – x^2}\,dx = \arctan x + C. \)
D. \( \int \frac{1}{1 – x^2}\,dx = \sin^{-1}x + C. \)
Câu 40. Tính tích phân \( \int e^{2x}\,dx \):
A. \( \int e^{2x}\,dx = e^{2x} + C. \)
B. \( \mathbf{\int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C.} \)
C. \( \int e^{2x}\,dx = 2e^{2x} + C. \)
D. \( \int e^{2x}\,dx = \ln(e^{2x}) + C. \)
Câu 41. Tính nguyên hàm \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\,dx \):
A. \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\,dx = \tan^{-1}x + C. \)
B. \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\,dx = \ln|x + \sqrt{x^2 + 1}| + C. \)
C. \( \mathbf{\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\,dx = \sinh^{-1}x + C.} \)
D. \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\,dx = \cos^{-1}x + C. \)
Câu 42. Tính tích phân \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 – x^2}} \):
A. \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 – x^2}} = \ln|x + \sqrt{a^2 – x^2}| + C. \)
B. \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 – x^2}} = \tan^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{a^2 – x^2}}\right) + C. \)
C. \( \mathbf{\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 – x^2}} = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C.} \)
D. \( \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 – x^2}} = \frac{x}{\sqrt{a^2 – x^2}} + C. \)
Câu 43. Nguyên hàm của \( \frac{1}{x^2 + a^2} \):
A. \( \int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a^2} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C. \)
B. \( \mathbf{\int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C.} \)
C. \( \int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \ln(x^2 + a^2) + C. \)
D. \( \int \frac{1}{x^2 + a^2}\,dx = \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C. \)
Câu 44. Nguyên hàm của \( \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \):
A. \( \mathbf{\int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = \sin^{-1}x + C.} \)
B. \( \int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = \cos^{-1}x + C. \)
C. \( \int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = \tan^{-1}x + C. \)
D. \( \int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = \ln|x| + C. \)
Câu 45. Nguyên hàm của \( \tan x \):
A. \( \mathbf{\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C.} \)
B. \( \int \tan x\,dx = \ln|\sin x| + C. \)
C. \( \int \tan x\,dx = \ln|\tan x| + C. \)
D. \( \int \tan x\,dx = \tan^{-1}x + C. \)
Câu 46. Tính tích phân \( \int_0^1 \sqrt{1 – x^2}\,dx \):
A. \( \int_0^1 \sqrt{1 – x^2}\,dx = 1 \)
B. \( \mathbf{\int_0^1 \sqrt{1 – x^2}\,dx = \frac{\pi}{4}} \)
C. \( \int_0^1 \sqrt{1 – x^2}\,dx = \frac{\pi}{2} \)
D. \( \int_0^1 \sqrt{1 – x^2}\,dx = \frac{1}{2} \)
Câu 47. Nguyên hàm của \( \frac{1}{x^2 – 1} \):
A. \( \int \frac{1}{x^2 – 1}\,dx = \ln|x – 1| + \ln|x + 1| + C. \)
B. \( \int \frac{1}{x^2 – 1}\,dx = \arctan x + C. \)
C. \( \mathbf{\int \frac{1}{x^2 – 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x – 1}{x + 1}\right| + C.} \)
D. \( \int \frac{1}{x^2 – 1}\,dx = \ln(x^2 – 1) + C. \)
Câu 48. Tính tích phân \( \int \ln x\,dx \):
A. \( \int \ln x\,dx = \frac{1}{x} + C. \)
B. \( \int \ln x\,dx = x \ln x + C. \)
C. \( \mathbf{\int \ln x\,dx = x \ln x – x + C.} \)
D. \( \int \ln x\,dx = \ln^2 x + C. \)
Câu 49. Tính tích phân \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\,dx \):
A. \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\,dx = \sqrt{1 + x^2} + C. \)
B. \( \mathbf{\int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\,dx = \sqrt{1 + x^2} + C.} \)
C. \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\,dx = \ln|x| + C. \)
D. \( \int \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}\,dx = \arcsin x + C. \)
Câu 50. Tính tích phân \( \int e^{-x}\,dx \):
A. \( \mathbf{\int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C.} \)
B. \( \int e^{-x}\,dx = e^{-x} + C. \)
C. \( \int e^{-x}\,dx = -\ln x + C. \)
D. \( \int e^{-x}\,dx = \frac{1}{x} + C. \)
Câu 51. Nguyên hàm của \( \cot x \):
A. \( \int \cot x\,dx = \ln|\cot x| + C. \)
B. \( \mathbf{\int \cot x\,dx = \ln|\sin x| + C.} \)
C. \( \int \cot x\,dx = -\ln|\tan x| + C. \)
D. \( \int \cot x\,dx = \cos^{-1}x + C. \)
Câu 52. Tính tích phân \( \int_1^e x\ln x\,dx \):
A. \( \int_1^e x\ln x\,dx = 1 \)
B. \( \int_1^e x\ln x\,dx = e \)
C. \( \mathbf{\int_1^e x\ln x\,dx = \frac{e^2 – 1}{4}} \)
D. \( \int_1^e x\ln x\,dx = \frac{1}{2}(e^2 – 1) \)
Câu 53. Tính tích phân \( \int \sec x\,dx \):
A. \( \int \sec x\,dx = \tan x + C. \)
B. \( \int \sec x\,dx = \ln|\sec x| + C. \)
C. \( \mathbf{\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C.} \)
D. \( \int \sec x\,dx = \ln|\cos x| + C. \)
Câu 54. Tính nguyên hàm \( \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 – 1}}\,dx \):
A. \( \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 – 1}}\,dx = \tan^{-1}x + C. \)
B. \( \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 – 1}}\,dx = \arcsin x + C. \)
C. \( \mathbf{\int \frac{1}{x \sqrt{x^2 – 1}}\,dx = \sec^{-1}|x| + C.} \)
D. \( \int \frac{1}{x \sqrt{x^2 – 1}}\,dx = \ln|x + \sqrt{x^2 – 1}| + C. \)
Câu 55. Tính tích phân \( \int x^3 \ln x\,dx \):
A. \( \int x^3 \ln x\,dx = \frac{x^4}{4}\ln x – \frac{x^4}{4} + C. \)
B. \( \mathbf{\int x^3 \ln x\,dx = \frac{x^4}{4}\ln x – \frac{x^4}{16} + C.} \)
C. \( \int x^3 \ln x\,dx = \ln x + C. \)
D. \( \int x^3 \ln x\,dx = x^3 + C. \)
Câu 56. Tính tích phân \( \int \frac{\ln x}{x}\,dx \):
A. \( \int \frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{1}{x} + C. \)
B. \( \mathbf{\int \frac{\ln x}{x}\,dx = \frac{(\ln x)^2}{2} + C.} \)
C. \( \int \frac{\ln x}{x}\,dx = x\ln x + C. \)
D. \( \int \frac{\ln x}{x}\,dx = \ln^2 x + C. \)
Câu 57. Nguyên hàm của \( x^2 \cos x \):
A. \( \int x^2 \cos x\,dx = x^2 \sin x – 2x \cos x – 2 \sin x + C. \)
B. \( \int x^2 \cos x\,dx = x^2 \cos x + 2x \sin x + 2 \cos x + C. \)
C. \( \mathbf{\int x^2 \cos x\,dx = x^2 \sin x + 2x \cos x – 2 \sin x + C.} \)
D. \( \int x^2 \cos x\,dx = \cos x + C. \)
Câu 58. Tính tích phân \( \int \frac{x}{x^2 + a^2}\,dx \):
A. \( \int \frac{x}{x^2 + a^2}\,dx = \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C. \)
B. \( \int \frac{x}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{a}\ln(x^2 + a^2) + C. \)
C. \( \mathbf{\int \frac{x}{x^2 + a^2}\,dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + a^2) + C.} \)
D. \( \int \frac{x}{x^2 + a^2}\,dx = \ln|x| + C. \)
Câu 59. Nguyên hàm của \( e^{x^2} \):
A. \( \int e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C. \)
B. \( \mathbf{\int e^{x^2}\,dx \text{ không có nguyên hàm hữu tỉ biểu diễn bằng hàm sơ cấp.}} \)
C. \( \int e^{x^2}\,dx = x e^{x^2} + C. \)
D. \( \int e^{x^2}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C. \)
Câu 60. Tính tích phân \( \int \cosh x\,dx \):
A. \( \int \cosh x\,dx = \sinh^2 x + C. \)
B. \( \mathbf{\int \cosh x\,dx = \sinh x + C.} \)
C. \( \int \cosh x\,dx = \cosh x + C. \)
D. \( \int \cosh x\,dx = \ln|\cosh x| + C. \)
Câu 61. Nguyên hàm của \( \frac{1}{\sqrt{x^2 – a^2}} \):
A. \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 – a^2}}\,dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C. \)
B. \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 – a^2}}\,dx = \ln(x^2 – a^2) + C. \)
C. \( \int \frac{1}{\sqrt{x^2 – a^2}}\,dx = \arcsin\left(\frac{a}{x}\right) + C. \)
D. \( \mathbf{\int \frac{1}{\sqrt{x^2 – a^2}}\,dx = \ln\left|x + \sqrt{x^2 – a^2}\right| + C.} \)
Câu 62. Tính tích phân \( \int \frac{dx}{x^2 + 1} \):
A. \( \mathbf{\int \frac{dx}{x^2 + 1} = \tan^{-1}x + C.} \)
B. \( \int \frac{dx}{x^2 + 1} = \ln(x^2 + 1) + C. \)
C. \( \int \frac{dx}{x^2 + 1} = \sin^{-1}x + C. \)
D. \( \int \frac{dx}{x^2 + 1} = \frac{1}{2x} + C. \)
Câu 63. Tính nguyên hàm \( \int x e^x\,dx \):
A. \( \int x e^x\,dx = e^x + C. \)
B. \( \mathbf{\int x e^x\,dx = (x – 1)e^x + C.} \)
C. \( \int x e^x\,dx = x e^x – C. \)
D. \( \int x e^x\,dx = e^x(x + 1) + C. \)
Câu 64. Tính tích phân \( \int x\cos x\,dx \):
A. \( \int x\cos x\,dx = x \sin x + \cos x + C. \)
B. \( \int x\cos x\,dx = -x \cos x + \sin x + C. \)
C. \( \mathbf{\int x\cos x\,dx = x \sin x + \cos x + C.} \)
D. \( \int x\cos x\,dx = \sin x – x \cos x + C. \)
Câu 65. Tính tích phân \( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2}\,dx \):
A. \( \mathbf{\int \frac{1}{x^2 + 2x + 2}\,dx = \arctan(x + 1) + C.} \)
B. \( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2}\,dx = \ln(x^2 + 2x + 2) + C. \)
C. \( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2}\,dx = \frac{1}{2} \ln|x^2 + 2x + 2| + C. \)
D. \( \int \frac{1}{x^2 + 2x + 2}\,dx = \tan^{-1}(x) + C. \)
Câu 66. Tính tích phân \( \int \frac{dx}{x \ln x} \):
A. \( \mathbf{\int \frac{dx}{x \ln x} = \ln|\ln x| + C.} \)
B. \( \int \frac{dx}{x \ln x} = \frac{1}{\ln x} + C. \)
C. \( \int \frac{dx}{x \ln x} = \ln x + C. \)
D. \( \int \frac{dx}{x \ln x} = \frac{1}{x} + C. \)
Câu 67. Tính tích phân \( \int x^2 \ln x\,dx \):
A. \( \int x^2 \ln x\,dx = x^2 \ln x – 2x + C. \)
B. \( \int x^2 \ln x\,dx = x^3 \ln x – 2x + C. \)
C. \( \mathbf{\int x^2 \ln x\,dx = \frac{x^3}{3} \ln x – \frac{x^3}{9} + C.} \)
D. \( \int x^2 \ln x\,dx = \ln x + x^2 + C. \)
Câu 68. Tính nguyên hàm \( \int \frac{1}{(x + 1)^2}\,dx \):
A. \( \int \frac{1}{(x + 1)^2}\,dx = \ln|x + 1| + C. \)
B. \( \mathbf{\int \frac{1}{(x + 1)^2}\,dx = -\frac{1}{x + 1} + C.} \)
C. \( \int \frac{1}{(x + 1)^2}\,dx = \frac{1}{x + 1} + C. \)
D. \( \int \frac{1}{(x + 1)^2}\,dx = -\ln|x + 1| + C. \)
Câu 69. Tính tích phân \( \int \frac{x^2 + 1}{x + 1}\,dx \):
A. \( \int \frac{x^2 + 1}{x + 1}\,dx = x + \ln|x + 1| + C. \)
B. \( \int \frac{x^2 + 1}{x + 1}\,dx = x^2 + \ln(x^2 + 1) + C. \)
C. \( \mathbf{\int \frac{x^2 + 1}{x + 1}\,dx = x – 1 + 2 \ln|x + 1| + C.} \)
D. \( \int \frac{x^2 + 1}{x + 1}\,dx = \frac{1}{2}x^2 + C. \)
Câu 70. Tính nguyên hàm \( \int x e^{x^2}\,dx \):
A. \( \int x e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C. \)
B. \( \mathbf{\int x e^{x^2}\,dx = \frac{1}{2} e^{x^2} + C.} \)
C. \( \int x e^{x^2}\,dx = x e^{x^2} + C. \)
D. \( \int x e^{x^2}\,dx = 2 e^{x^2} + C. \)
Câu 71. Tính tích phân \( \int \frac{x^2}{x^2 + 1}\,dx \):
A. \( \mathbf{\int \frac{x^2}{x^2 + 1}\,dx = x – \tan^{-1}x + C.} \)
B. \( \int \frac{x^2}{x^2 + 1}\,dx = \ln(x^2 + 1) + C. \)
C. \( \int \frac{x^2}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}x^2 + C. \)
D. \( \int \frac{x^2}{x^2 + 1}\,dx = x + \tan^{-1}x + C. \)
Câu 72. Tính tích phân \( \int x^3 e^x\,dx \):
A. \( \int x^3 e^x\,dx = x^3 e^x + C. \)
B. \( \int x^3 e^x\,dx = e^x (x^3 – 3x + 6) + C. \)
C. \( \mathbf{\int x^3 e^x\,dx = e^x (x^3 – 3x^2 + 6x – 6) + C.} \)
D. \( \int x^3 e^x\,dx = (x^3 – 6x + 6) e^x + C. \)
Câu 73. Tính tích phân \( \int \frac{1}{x^2 – 2x + 2}\,dx \):
A. \( \int \frac{1}{x^2 – 2x + 2}\,dx = \ln(x^2 – 2x + 2) + C. \)
B. \( \mathbf{\int \frac{1}{x^2 – 2x + 2}\,dx = \arctan(x – 1) + C.} \)
C. \( \int \frac{1}{x^2 – 2x + 2}\,dx = \ln|x – 1| + C. \)
D. \( \int \frac{1}{x^2 – 2x + 2}\,dx = \frac{1}{x – 1} + C. \)
Câu 74. Tính tích phân \( \int x \sqrt{x^2 + 1}\,dx \):
A. \( \int x \sqrt{x^2 + 1}\,dx = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) + C. \)
B. \( \int x \sqrt{x^2 + 1}\,dx = x + \sqrt{x^2 + 1} + C. \)
C. \( \mathbf{\int x \sqrt{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{3/2} + C.} \)
D. \( \int x \sqrt{x^2 + 1}\,dx = \sqrt{x^2 + 1} + C. \)
Câu 75. Nguyên hàm của \( \ln(x^2 + 1) \):
A. \( \int \ln(x^2 + 1)\,dx = x \ln(x^2 + 1) + C. \)
B. \( \mathbf{\int \ln(x^2 + 1)\,dx = x \ln(x^2 + 1) – 2x + 2 \tan^{-1}x + C.} \)
C. \( \int \ln(x^2 + 1)\,dx = \frac{1}{2} \ln(x^2 + 1) + C. \)
D. \( \int \ln(x^2 + 1)\,dx = \ln|x| + C. \)
Câu 76. Tính tích phân \( \int \frac{x}{(x^2 + 1)^2}\,dx \):
A. \( \int \frac{x}{(x^2 + 1)^2}\,dx = \frac{1}{x^2 + 1} + C. \)
B. \( \mathbf{\int \frac{x}{(x^2 + 1)^2}\,dx = -\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C.} \)
C. \( \int \frac{x}{(x^2 + 1)^2}\,dx = \tan^{-1}x + C. \)
D. \( \int \frac{x}{(x^2 + 1)^2}\,dx = \frac{x}{x^2 + 1} + C. \)
Câu 77. Tính tích phân \( \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 – 1}} \):
A. \( \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 – 1}} = \arcsin x + C. \)
B. \( \mathbf{\int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 – 1}} = \sec^{-1}|x| + C.} \)
C. \( \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 – 1}} = \tan^{-1}x + C. \)
D. \( \int \frac{dx}{x\sqrt{x^2 – 1}} = \ln|x + \sqrt{x^2 – 1}| + C. \)
Câu 78. Tính nguyên hàm \( \int x \ln x\,dx \):
A. \( \mathbf{\int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{x^2}{4} + C.} \)
B. \( \int x \ln x\,dx = \ln x + x + C. \)
C. \( \int x \ln x\,dx = \frac{x^2}{2} \ln x + C. \)
D. \( \int x \ln x\,dx = \ln(x^2) + C. \)
Câu 79. Tính tích phân \( \int \frac{1}{x^4 + 1}\,dx \):
A. \( \int \frac{1}{x^4 + 1}\,dx = \ln(x^4 + 1) + C. \)
B. \( \int \frac{1}{x^4 + 1}\,dx = \tan^{-1}(x^2) + C. \)
C. \( \int \frac{1}{x^4 + 1}\,dx = \frac{1}{4}\ln(x^4 + 1) + C. \)
D. \( \mathbf{\int \frac{1}{x^4 + 1}\,dx = \frac{1}{2\sqrt{2}} \tan^{-1}\left(\frac{1 – x^2}{\sqrt{2}x}\right) + C.} \)
Câu 80. Tính nguyên hàm của \( \arctan x \):
A. \( \int \arctan x\,dx = x \arctan x + C. \)
B. \( \int \arctan x\,dx = \frac{1}{1 + x^2} + C. \)
C. \( \mathbf{\int \arctan x\,dx = x \arctan x – \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C.} \)
D. \( \int \arctan x\,dx = \ln(1 + x^2) + C. \)
Câu 81. Tính tích phân \( \int x \sqrt{1 – x^2}\,dx \):
A. \( \int x \sqrt{1 – x^2}\,dx = \frac{1}{2} \sin^{-1}x + C. \)
B. \( \int x \sqrt{1 – x^2}\,dx = -\frac{1}{3}(1 – x^2)^{3/2} + C. \)
C. \( \mathbf{\int x \sqrt{1 – x^2}\,dx = -\frac{1}{3}(1 – x^2)^{3/2} + C.} \)
D. \( \int x \sqrt{1 – x^2}\,dx = \sqrt{1 – x^2} + C. \)
Câu 82. Tính tích phân \( \int \frac{dx}{(x + 1)^3} \):
A. \( \int \frac{dx}{(x + 1)^3} = \ln|x + 1| + C. \)
B. \( \int \frac{dx}{(x + 1)^3} = \frac{1}{2(x + 1)^2} + C. \)
C. \( \mathbf{\int \frac{dx}{(x + 1)^3} = -\frac{1}{2(x + 1)^2} + C.} \)
D. \( \int \frac{dx}{(x + 1)^3} = \frac{1}{(x + 1)^3} + C. \)
Câu 83. Tính nguyên hàm của \( \frac{x}{\sqrt{1 – x^2}} \):
A. \( \mathbf{\int \frac{x}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = -\sqrt{1 – x^2} + C.} \)
B. \( \int \frac{x}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = \sqrt{1 – x^2} + C. \)
C. \( \int \frac{x}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = \ln|x| + C. \)
D. \( \int \frac{x}{\sqrt{1 – x^2}}\,dx = \arcsin x + C. \)
