Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp C1 Chương 6 là phần bài tập trắc nghiệm thuộc môn Toán cao cấp, học phần quan trọng trong chương trình đào tạo các ngành kỹ thuật và công nghệ tại Trường Đại học Sư phạm TP.HCM (HCMUE). Đề ôn tập này do ThS. Đỗ Thị Minh Phượng – giảng viên Khoa Toán Tin – biên soạn năm 2024, tập trung vào nội dung chương 6: phương trình vi phân. Cụ thể, sinh viên sẽ ôn luyện các dạng phương trình vi phân cấp một, cấp hai, các phương pháp giải chính như tách biến, biến đổi đồng nhất, tuyến tính, cũng như ứng dụng vào các bài toán mô hình hóa trong kỹ thuật và kinh tế.
Tại nền tảng dethitracnghiem.vn, sinh viên có thể truy cập và luyện tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp C1 Chương 6 với hệ thống câu hỏi được cập nhật bám sát chương trình học, có lời giải và hướng dẫn chi tiết sau mỗi câu. Tính năng lưu lại tiến trình làm bài, phân tích kết quả theo từng chủ đề giúp người học đánh giá được mức độ hiểu bài và bổ sung kịp thời phần kiến thức còn thiếu. Đây là công cụ hỗ trợ học tập hiệu quả cho sinh viên trước kỳ thi giữa kỳ và cuối kỳ môn Toán cao cấp tại HCMUE cũng như các trường đại học kỹ thuật khác trên toàn quốc.
Trắc nghiệm Toán cao cấp C1 Chương 6
Câu 1: Xác định cấp của phương trình vi phân \( y” + 3y’ – 5y = \cos x \).
A. Cấp 1
B. Cấp 2
C. Cấp 3
D. Cấp 5
Câu 2: Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình tuyến tính?
A. \( y’ + xy^2 = 1 \)
B. \( yy’ + x = 0 \)
C. \( y’ + (\sin x)y = x^2 \)
D. \( (y’)^2 + y = 0 \)
Câu 3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ = 2x \).
A. \( y = 2 + C \)
B. \( y = x^2 \)
C. \( y = x^2 + C \)
D. \( y = 2x + C \)
Câu 4: Phương trình vi phân có thể tách biến là phương trình có dạng:
A. \( y’ + P(x)y = Q(x) \)
B. \( y’ = f(ax+by) \)
C. \( M(x)dx + N(y)dy = 0 \)
D. \( y’ = f(y/x) \)
Câu 5: Giải phương trình vi phân \( y’ – 3y = 0 \).
A. \( y = Ce^{-3x} \)
B. \( y = Ce^{3x} \)
C. \( y = 3x + C \)
D. \( y = C – 3x \)
Câu 6: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” – 4y’ + 3y = 0 \).
A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x} \)
B. \( y = C_1 e^x + C_2 e^{3x} \)
C. \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-3x} \)
D. \( y = (C_1 + C_2 x) e^{2x} \)
Câu 7: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” – 6y’ + 9y = 0 \).
A. \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} \)
B. \( y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \)
C. \( y = (C_1 x + C_2 x^2) e^{3x} \)
D. \( y = (C_1 + C_2 x) e^{3x} \)
Câu 8: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” + 9y = 0 \).
A. \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} \)
B. \( y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \)
C. \( y = e^x(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) \)
D. \( y = (C_1 + C_2 x) e^{3x} \)
Câu 9: Giải phương trình vi phân \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} \).
A. \( y = x + C \)
B. \( y = Cx \)
C. \( y = x^2 + C \)
D. \( y = \ln|x| + C \)
Câu 10: Tìm nghiệm riêng của phương trình \( y’ = 4y \) thỏa điều kiện \( y(0) = 2 \).
A. \( y = 2e^{-4x} \)
B. \( y = 4e^{2x} \)
C. \( y = 2x+2 \)
D. \( y = 2e^{4x} \)
Câu 11: Phương trình \( y’ + P(x)y = Q(x)y^n \) với \( n \neq 0, n \neq 1 \) được gọi là phương trình:
A. Tách biến
B. Đẳng cấp
C. Tuyến tính cấp 1
D. Bernoulli
Câu 12: Tìm một nghiệm riêng của phương trình \( y” + 4y = 8 \).
A. \( y_p = 8 \)
B. \( y_p = 4 \)
C. \( y_p = 2 \)
D. \( y_p = 2x \)
Câu 13: Phương trình \( (2xy)dx + (x^2+1)dy = 0 \) thuộc dạng nào?
A. Tách biến
B. Tuyến tính
C. Vi phân toàn phần
D. Bernoulli
Câu 14: Phương trình đặc trưng của phương trình vi phân \( y” – 3y’ + 2y = 0 \) là:
A. \( k^2 + 3k + 2 = 0 \)
B. \( k^2 – 3k + 2 = 0 \)
C. \( k^2 – 3k = 0 \)
D. \( -3k + 2 = 0 \)
Câu 15: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” – 2y’ + y = e^x \).
A. \( y_p = A e^x \)
B. \( y_p = A x e^x \)
C. \( y_p = A x^2 e^x \)
D. \( y_p = (Ax+B) e^x \)
Câu 16: Tìm thừa số tích phân của phương trình \( y’ + \dfrac{2}{x}y = x \).
A. \( \mu(x) = e^{2x} \)
B. \( \mu(x) = x \)
C. \( \mu(x) = x^2 \)
D. \( \mu(x) = \ln(x^2) \)
Câu 17: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 \( y’ + y = e^{-x} \).
A. \( y = e^{-x} + C \)
B. \( y = (x+C)e^x \)
C. \( y = (x+C)e^{-x} \)
D. \( y = xe^{-x} + C \)
Câu 18: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n chứa bao nhiêu hằng số tùy ý?
A. 1 hằng số
B. 2 hằng số
C. \( n-1 \) hằng số
D. n hằng số
Câu 19: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” – 5y’ = 0 \).
A. \( y = C_1 + C_2 e^{-5x} \)
B. \( y = C_1 x + C_2 e^{5x} \)
C. \( y = C_1 + C_2 e^{5x} \)
D. \( y = C_1 e^{5x} \)
Câu 20: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” + y = \cos(2x) \).
A. \( y_p = A\cos(2x) + B\sin(2x) \)
B. \( y_p = Ax\cos(2x) + Bx\sin(2x) \)
C. \( y_p = A\cos(2x) \)
D. \( y_p = A\sin(2x) \)
Câu 21: Phương trình vi phân \( y’ = \dfrac{x^2+y^2}{xy} \) là phương trình:
A. Tách biến
B. Đẳng cấp
C. Tuyến tính
D. Vi phân toàn phần
Câu 22: Tìm nghiệm tổng quát của \( y”+y’+y=0 \).
A. \( y = e^{-x/2} (C_1 \cos(\frac{\sqrt{3}}{2}x) + C_2 \sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x)) \)
B. \( y = e^{x/2} (C_1 \cos(\frac{\sqrt{3}}{2}x) + C_2 \sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x)) \)
C. \( y = e^{-x/2} (C_1 e^{\frac{\sqrt{3}}{2}x} + C_2 e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x}) \)
D. \( y = e^{-x/2} (C_1 \cos(\frac{\sqrt{3}}{2}x) + C_2 \sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x)) \)
Câu 23: Phép đổi biến nào phù hợp để giải phương trình \( y’ = (x+y)^2 \)?
A. \( u = x+y \)
B. \( u = y/x \)
C. \( u = xy \)
D. \( u = y^2 \)
Câu 24: Tìm nghiệm riêng của phương trình \( y” = 6x \) thỏa điều kiện \( y(0)=0, y'(0)=0 \).
A. \( y = 3x^2 \)
B. \( y = 6x^3 \)
C. \( y = x^3 \)
D. \( y = 6 \)
Câu 25: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” + 4y = \sin(2x) \).
A. \( y_p = A\sin(2x) \)
B. \( y_p = A\cos(2x) + B\sin(2x) \)
C. \( y_p = x(A\cos(2x) + B\sin(2x)) \)
D. \( y_p = Ax\sin(2x) \)
Câu 26: Giải phương trình vi phân toàn phần \( (2x+y)dx + (x-2y)dy = 0 \).
A. \( x^2+xy-y^2+C=0 \)
B. \( x^2+xy-y^2=C \)
C. \( x^2+2xy-y^2=C \)
D. \( x^2-xy+y^2=C \)
Câu 27: Tìm nghiệm tổng quát của \( y’ = \dfrac{1}{1+x^2} \).
A. \( y = \ln(1+x^2) + C \)
B. \( y = \arctan(x) + C \)
C. \( y = \dfrac{1}{x} + C \)
D. \( y = \arcsin(x) + C \)
Câu 28: Dạng nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất \( y”+py’+qy=0 \) không phụ thuộc vào:
A. Các nghiệm của phương trình đặc trưng
B. Hằng số \( p, q \)
C. Điều kiện ban đầu
D. Điều kiện ban đầu
Câu 29: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( xy’ – 2y = 0 \).
A. \( y = Cx \)
B. \( y = Cx^2 \)
C. \( y = C/x \)
D. \( y = C/x^2 \)
Câu 30: Phương trình \( y” – y = e^x + 2 \) có nghiệm riêng dạng:
A. \( y_p = Ax e^x + B \)
B. \( y_p = A e^x + B \)
C. \( y_p = A x e^x + Bx \)
D. \( y_p = (Ax+B)e^x + D \)
