Trắc nghiệm Toán cao cấp C1 Trường Đại học Nha Trang
Câu 1: Tìm giới hạn \( L = \lim_{x \to \infty} \dfrac{5x^2 – 3x + 1}{2x^2 + x – 7} \).
A. 5
B. 2
C. \( \dfrac{5}{2} \)
D. 0
Câu 2: Tìm đạo hàm của hàm số \( y = \sin(x^2) \).
A. \( y’ = \cos(x^2) \)
B. \( y’ = 2x \cos(x^2) \)
C. \( y’ = -2x \cos(x^2) \)
D. \( y’ = x \cos(2x) \)
Câu 3: Tính tích phân \( I = \int e^{3x+1} dx \).
A. \( e^{3x+1} + C \)
B. \( 3e^{3x+1} + C \)
C. \( \dfrac{1}{3}e^{3x+1} + C \)
D. \( e^{3x} + x + C \)
Câu 4: Xét sự hội tụ của chuỗi số \( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2+1} \).
A. Hội tụ.
B. Phân kỳ.
C. Bán hội tụ.
D. Không xác định được.
Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ – 2xy = 0 \).
A. \( y = Ce^{-x^2} \)
B. \( y = Ce^{x^2} \)
C. \( y = Cx^2 \)
D. \( y = x^2+C \)
Câu 6: Tính giới hạn \( L = \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} \).
A. 1
B. 0
C. \( \infty \)
D. 2
Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = -x^2 + 2x + 3 \).
A. y = 3
B. y = 1
C. y = 4
D. y = 2
Câu 8: Tính tích phân xác định \( I = \int_0^1 (4x^3+1) dx \).
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
Câu 9: Chuỗi hình học \( \sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{3}{4}\right)^{n-1} \) có tổng bằng:
A. 3
B. 4
C. 3/4
D. 4/3
Câu 10: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” – 4y = 0 \).
A. \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \)
B. \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \)
C. \( y = (C_1 + C_2 x) e^{2x} \)
D. \( y = e^{2x} + e^{-2x} + C \)
Câu 11: Tìm vi phân của hàm số \( y = x^4 \).
A. \( dy = 4x^3 \)
B. \( dy = 4x^3 dx \)
C. \( dy = x^3 dx \)
D. \( dy = \dfrac{x^5}{5} dx \)
Câu 12: Tìm đạo hàm của hàm số \( y = \dfrac{x+1}{x-1} \).
A. \( y’ = \dfrac{2}{(x-1)^2} \)
B. \( y’ = \dfrac{-2}{(x-1)^2} \)
C. \( y’ = \dfrac{1}{(x-1)^2} \)
D. \( y’ = \dfrac{x}{(x-1)^2} \)
Câu 13: Tính tích phân \( I = \int_0^{\pi} \sin x dx \).
A. 0
B. 1
C. 2
D. -2
Câu 14: Chuỗi nào sau đây phân kỳ?
A. \( \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^3} \)
B. \( \sum_{n=1}^\infty \dfrac{n}{n+1} \)
C. \( \sum_{n=1}^\infty \left(\dfrac{1}{e}\right)^n \)
D. \( \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^n}{n^2} \)
Câu 15: Tìm nghiệm của phương trình vi phân \( y’ = 1/y \) với điều kiện \( y(0) = 2 \).
A. \( y^2 = x + 4 \)
B. \( y^2 = 2x + 4 \)
C. \( y = 2x+2 \)
D. \( y = \ln x + 2 \)
Câu 16: Tìm giới hạn \( L = \lim_{x \to 0} (1+2x)^{1/x} \).
A. \( e \)
B. \( e^2 \)
C. \( \sqrt{e} \)
D. 1
Câu 17: Tìm khoảng đồng biến của hàm số \( y = \dfrac{1}{3}x^3 – x^2 – 3x + 1 \).
A. (-1, 3)
B. \( (-\infty, -1) \)
C. \( (3, +\infty) \)
D. \( (-\infty, -1) \) và \( (3, +\infty) \)
Câu 18: Tính tích phân \( I = \int x \sin(x) dx \).
A. \( x\cos x + \sin x + C \)
B. \( -x\cos x + \sin x + C \)
C. \( x\cos x – \sin x + C \)
D. \( \dfrac{x^2}{2} \sin x + C \)
Câu 19: Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa \( \sum_{n=0}^\infty \dfrac{n x^n}{2^n} \).
A. R = 1
B. R = 2
C. R = 1/2
D. R = \( \infty \)
Câu 20: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” + 2y’ + y = 0 \).
A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{x} \)
B. \( y = (C_1 + C_2 x)e^{-x} \)
C. \( y = e^{-x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x) \)
D. \( y = C_1 e^{-x} \)
Câu 21: Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \( y = x^3 – 2x + 1 \).
A. \( y” = 3x^2 – 2 \)
B. \( y” = 6x \)
C. \( y” = 6 \)
D. \( y” = 3x \)
Câu 22: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi \( y=\sqrt{x} \), trục Ox, \( x=1 \) và \( x=4 \).
A. 7/3
B. 14/3
C. 7
D. 8
Câu 23: Chuỗi \( \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(-1)^{n}}{n^2+1} \) là chuỗi:
A. Hội tụ tuyệt đối
B. Bán hội tụ
C. Phân kỳ
D. Không xác định
Câu 24: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” + y = e^{2x} \).
A. \( y_p = Axe^{2x} \)
B. \( y_p = Ae^{2x} \)
C. \( y_p = A\cos x + B \sin x \)
D. \( y_p = Ax^2e^{2x} \)
Câu 25: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số \( y = \dfrac{x^2+2x+3}{x-1} \).
A. y = x+2
B. y = x+3
C. y = x+1
D. Không có tiệm cận xiên
Câu 26: Khai triển Maclaurin của hàm số \( f(x) = \dfrac{1}{1-x} \) là:
A. \( \sum_{n=0}^\infty x^n \)
B. \( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n \)
C. \( \sum_{n=0}^\infty \dfrac{x^n}{n!} \)
D. \( \sum_{n=1}^\infty \dfrac{x^n}{n} \)
Câu 27: Tính tích phân suy rộng \( I = \int_2^{+\infty} \dfrac{dx}{x^2} \).
A. 1
B. 1/2
C. 2
D. Phân kỳ
Câu 28: Tìm đạo hàm \( y’ \) của hàm số \( y = (\ln x)^2 \).
A. \( y’ = \dfrac{2}{x} \)
B. \( y’ = 2\ln x \)
C. \( y’ = \dfrac{2\ln x}{x} \)
D. \( y’ = \dfrac{1}{x^2} \)
Câu 29: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 có dạng:
A. \( M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 \)
B. \( y’ + p(x)y = q(x) \)
C. \( y’ = f(y/x) \)
D. \( y” + py’ + qy = f(x) \)
Câu 30: Tính tích phân \( \int \dfrac{dx}{x\ln x} \).
A. \( \ln x + C \)
B. \( \ln^2 x + C \)
C. \( \ln|\ln x| + C \)
D. \( \dfrac{1}{\ln x} + C \)
