Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 4 là một phần quan trọng trong môn học Toán Cao Cấp 2, thuộc chương trình đào tạo hệ đại học tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội (HUST). Đề ôn tập này được biên soạn bởi ThS. Nguyễn Văn Quang – giảng viên Bộ môn Toán Ứng Dụng, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội – vào năm 2024. Nội dung chương 4 chủ yếu tập trung vào phép biến đổi Laplace, bao gồm định nghĩa, tính chất, bảng biến đổi cơ bản, và ứng dụng trong giải phương trình vi phân. Các câu hỏi được trình bày dưới dạng trắc nghiệm khách quan, giúp sinh viên ôn luyện trắc nghiệm đại học lý thuyết sâu sắc, thực hành tính toán chính xác, và phát triển kỹ năng áp dhttps://dethitracnghiem.vn/dai-hocụng kiến thức vào các bài toán kỹ thuật.
Trên nền tảng Dethitracnghiem.vn, sinh viên có thể tiếp cận nhanh chóng và hiệu quả bộ Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 4. Giao diện trực quan, câu hỏi được phân chia rõ ràng theo từng chuyên đề, có đáp án chính xác và lời giải chi tiết, hỗ trợ người học tự đánh giá năng lực và tiến bộ qua từng lần làm bài. Với các tính năng như lưu đề yêu thích, làm bài nhiều lần, và theo dõi tiến trình học tập qua biểu đồ cá nhân, đây là công cụ lý tưởng cho sinh viên các trường đại học trong việc ôn luyện Toán Cao Cấp một cách toàn diện trước kỳ thi giữa kỳ và cuối kỳ.
Bài Tập Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Chương 4
Câu 1: Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. \( f(x) = x^3 + x \)
B. \( f(x) = x^2 \cos x \)
C. \( f(x) = \sin x \)
D. \( f(x) = e^x \)
Câu 2: Hàm số nào sau đây là hàm số lẻ?
A. \( f(x) = |x| \)
B. \( f(x) = x^4 – 2x^2 \)
C. \( f(x) = x + \sin x \)
D. \( f(x) = \cos x \)
Câu 3: Chu kỳ cơ sở (nhỏ nhất) của hàm số \( f(x) = \sin(2x) \) là:
A. \( 2\pi \)
B. \( \pi \)
C. \( \pi/2 \)
D. \( 4\pi \)
Câu 4: Trong khai triển chuỗi Fourier của hàm số \( f(x) \) tuần hoàn chu kỳ \( 2L \) trên \( [-L, L] \), hệ số \( a_0 \) được tính bằng công thức:
A. \( a_0 = \dfrac{1}{2L} \int_{-L}^L f(x) dx \)
B. \( a_0 = \dfrac{2}{L} \int_{-L}^L f(x) dx \)
C. \( a_0 = \dfrac{1}{L} \int_{-L}^L f(x) dx \)
D. \( a_0 = \int_{-L}^L f(x) dx \)
Câu 5: Nếu \( f(x) \) là một hàm số lẻ tuần hoàn chu kỳ \( 2L \), thì trong khai triển chuỗi Fourier của nó:
A. Tất cả các hệ số \( a_n = 0 \) (với \( n \ge 0 \))
B. Tất cả các hệ số \( b_n = 0 \) (với \( n \ge 1 \))
C. Chỉ có \( a_0 = 0 \)
D. Tất cả các hệ số đều khác 0
Câu 6: Nếu \( f(x) \) là một hàm số chẵn tuần hoàn chu kỳ \( 2L \), thì trong khai triển chuỗi Fourier của nó:
A. Tất cả các hệ số \( a_n = 0 \) (với \( n \ge 0 \))
B. Tất cả các hệ số \( b_n = 0 \) (với \( n \ge 1 \))
C. Chỉ có \( b_1 = 0 \)
D. Tất cả các hệ số đều khác 0
Câu 7: Tìm hệ số \( a_0 \) trong khai triển chuỗi Fourier của hàm \( f(x) = x^2 \) trên \( [-\pi, \pi] \).
A. \( \dfrac{\pi^2}{3} \)
B. \( \dfrac{\pi^2}{6} \)
C. \( \dfrac{2\pi^2}{3} \)
D. \( \dfrac{4\pi^2}{3} \)
Câu 8: Khai triển chuỗi Fourier của hàm \( f(x) = 1 \) trên \( [-\pi, \pi] \) là:
A. 0
B. \( \sin x \)
C. 1
D. \( \cos x \)
Câu 9: Tìm biến đổi Laplace của hàm số \( f(t) = 1 \).
A. \( s \)
B. \( 1 \)
C. \( \dfrac{1}{s} \)
D. \( \dfrac{1}{s^2} \)
Câu 10: Tìm biến đổi Laplace của hàm số \( f(t) = e^{at} \).
A. \( \dfrac{1}{s+a} \)
B. \( \dfrac{1}{s-a} \)
C. \( \dfrac{a}{s-a} \)
D. \( \dfrac{s}{s^2+a^2} \)
Câu 11: Tìm biến đổi Laplace của hàm số \( f(t) = \sin(at) \).
A. \( \dfrac{s}{s^2+a^2} \)
B. \( \dfrac{a}{s^2+a^2} \)
C. \( \dfrac{a}{s^2-a^2} \)
D. \( \dfrac{s}{s^2-a^2} \)
Câu 12: Tìm biến đổi Laplace của hàm số \( f(t) = \cos(at) \).
A. \( \dfrac{s}{s^2+a^2} \)
B. \( \dfrac{a}{s^2+a^2} \)
C. \( \dfrac{s}{s^2-a^2} \)
D. \( \dfrac{a}{s^2-a^2} \)
Câu 13: Biến đổi Laplace của đạo hàm \( f'(t) \) là \( \mathcal{L}\{f'(t)\} = ? \)
A. \( sF(s) \)
B. \( sF(s) + f(0) \)
C. \( sF(s) – f(0) \)
D. \( \dfrac{F(s)}{s} \)
Câu 14: Nếu \( \mathcal{L}\{f(t)\} = F(s) \) thì \( \mathcal{L}\{e^{at}f(t)\} = ? \) (Tính chất tịnh tiến theo s)
A. \( F(s+a) \)
B. \( F(s-a) \)
C. \( e^{as}F(s) \)
D. \( F(as) \)
Câu 15: Tìm biến đổi Laplace của hàm số \( f(t) = t^n \) (n là số nguyên dương).
A. \( \dfrac{n}{s^{n+1}} \)
B. \( \dfrac{n!}{s^n} \)
C. \( \dfrac{1}{s^{n+1}} \)
D. \( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \)
Câu 16: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{1}{s^2} \).
A. 1
B. t
C. \( t^2 \)
D. \( e^t \)
Câu 17: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{2}{s-3} \).
A. \( 2e^{-3t} \)
B. \( 3e^{2t} \)
C. \( 2e^{3t} \)
D. \( e^{2t} \)
Câu 18: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{s}{s^2+4} \).
A. \( \sin(2t) \)
B. \( \cos(2t) \)
C. \( e^{2t} \)
D. \( \dfrac{1}{2}\sin(2t) \)
Câu 19: Dùng biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân \( y’ + y = 0 \) với \( y(0)=1 \). Nghiệm là:
A. \( y(t) = e^t \)
B. \( y(t) = e^{-t} \)
C. \( y(t) = \cos t \)
D. \( y(t) = \sin t \)
Câu 20: Biến đổi Laplace của tích chập \( (f*g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)d\tau \) là:
A. \( F(s) + G(s) \)
B. \( F(s)G(s) \)
C. \( F(s)/G(s) \)
D. \( sF(s)G(s) \)
Câu 21: Chu kỳ của hàm \( f(x) = \tan(\pi x) \) là:
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi \)
C. 1
D. 2
Câu 22: Tìm hệ số \( b_1 \) trong khai triển Fourier của hàm \( f(x)=x \) trên \( [-\pi, \pi] \).
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
Câu 23: Biến đổi Laplace của hàm \( f(t) = t \sin(t) \) là:
A. \( \dfrac{1}{(s^2+1)^2} \)
B. \( \dfrac{2s}{(s^2+1)^2} \)
C. \( \dfrac{s^2-1}{(s^2+1)^2} \)
D. \( \dfrac{2}{s(s^2+1)} \)
Câu 24: Cho hàm số \( f(x) = \begin{cases} 1 & 0 \le x < \pi \\ -1 & \pi \le x < 2\pi \end{cases} \). Hệ số \( a_0 \) trong khai triển Fourier là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. \( 1/\pi \)
Câu 25: Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = e^{2t}\cos(3t) \).
A. \( \dfrac{s-3}{(s-3)^2+4} \)
B. \( \dfrac{s-2}{(s-2)^2+4} \)
C. \( \dfrac{s-2}{(s-2)^2+9} \)
D. \( \dfrac{s+2}{(s+2)^2+9} \)
Câu 26: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{1}{s^2+s} \). Gợi ý: phân tích thành phân thức đơn giản.
A. \( e^t – 1 \)
B. \( 1 – e^{-t} \)
C. \( 1 + e^{-t} \)
D. \( t – e^{-t} \)
Câu 27: Chuỗi Fourier của một hàm số tuần hoàn hội tụ về giá trị nào tại một điểm gián đoạn?
A. Giá trị bên trái
B. Giá trị bên phải
C. Trung bình cộng của giới hạn trái và giới hạn phải
D. 0
Câu 28: Biến đổi Laplace của hàm Heaviside \( u(t-a) \) là:
A. \( \dfrac{e^{-as}}{a} \)
B. \( e^{-as} \)
C. \( \dfrac{e^{-as}}{s} \)
D. \( se^{-as} \)
Câu 29: Nếu \( f(x) \) là hàm chẵn thì tích \( \int_{-L}^L f(x)\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) dx \) bằng:
A. \( 2\int_0^L f(x)\sin\left(\dfrac{n\pi x}{L}\right) dx \)
B. 0
C. 1
D. \( L \)
Câu 30: Dùng biến đổi Laplace để giải \( y” + 4y = 0 \) với \( y(0)=1, y'(0)=0 \). Nghiệm là:
A. \( y(t) = \sin(2t) \)
B. \( y(t) = \cos(t) \)
C. \( y(t) = \sin(t) \)
D. \( y(t) = \cos(2t) \)
