Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 5 là nội dung chuyên sâu thuộc học phần Toán Cao Cấp 2, được giảng dạy trong chương trình đại học tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội (HUST). Đề ôn tập này do ThS. Nguyễn Văn Quang – giảng viên Bộ môn Toán Ứng Dụng, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội – biên soạn vào năm 2024. Chương 5 tập trung vào nội dung biến đổi Z – một công cụ toán học quan trọng trong xử lý tín hiệu rời rạc và giải phương trình sai phân. Các câu hỏi trắc nghiệm đại học được thiết kế chặt chẽ, bám sát nội dung giảng dạy đại học, giúp sinh viên hiểu rõ định nghĩa, tính chất, và ứng dụng của biến đổi Z trong các lĩnh vực kỹ thuật điện – điện tử và tự động hóa.
Trên nền tảng Dethitracnghiem.vn, sinh viên đại học có thể truy cập bộ Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 5 một cách thuận tiện với cấu trúc đề bài rõ ràng, logic, đi kèm đáp án chính xác và lời giải chi tiết cho từng câu. Giao diện thân thiện, hỗ trợ làm bài nhiều lần, lưu đề yêu thích và theo dõi tiến trình học tập qua biểu đồ cá nhân giúp người học củng cố kiến thức và phát hiện điểm yếu để cải thiện hiệu quả. Đây là giải pháp học tập trực tuyến toàn diện, hỗ trợ sinh viên chuẩn bị vững vàng cho các kỳ thi Toán Cao Cấp trong môi trường đại học.
Bài Tập Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Chương 5
Câu 1: Cấp của phương trình vi phân \( y”’ + x(y’)^2 – y = e^x \) là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 2: Phương trình vi phân nào sau đây là phương trình tuyến tính?
A. \( y’ + y^2 = x \)
B. \( yy’ + x = 1 \)
C. \( y” + (\sin x)y’ + y = \ln x \)
D. \( (y’)^2 + y’ = x \)
Câu 3: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ – (\cot x)y = 0 \).
A. \( y = C \cos x \)
B. \( y = C \sin x \)
C. \( y = C \tan x \)
D. \( y = C e^{\cot x} \)
Câu 4: Phương trình đặc trưng của phương trình vi phân \( y” + 5y’ – 6y = 0 \) là:
A. \( k^2 – 5k – 6 = 0 \)
B. \( k^2 + 5k – 6 = 0 \)
C. \( k^2 + 5k = 0 \)
D. \( k^2 – 6 = 0 \)
Câu 5: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” – 8y’ + 16y = 0 \).
A. \( y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x} \)
B. \( y = (C_1 + C_2 x) e^{4x} \)
C. \( y = e^{4x} (C_1 \cos x + C_2 \sin x) \)
D. \( y = C_1 e^{4x} \)
Câu 6: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” + 2y’ + 10y = 0 \).
A. \( y = e^x(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) \)
B. \( y = e^{-x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) \)
C. \( y = e^{x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) \)
D. \( y = e^{-x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) \)
Câu 7: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” – 3y’ + 2y = e^{3x} \).
A. \( y_p = Axe^{3x} \)
B. \( y_p = (Ax+B)e^{3x} \)
C. \( y_p = Ae^{3x} \)
D. \( y_p = Axe^{x} \)
Câu 8: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” – 2y’ + y = e^x \).
A. \( y_p = Ae^x \)
B. \( y_p = Axe^x \)
C. \( y_p = Ax^2e^x \)
D. \( y_p = (Ax+B)e^x \)
Câu 9: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” + 9y = \sin(2x) \).
A. \( y_p = Ax\sin(2x) \)
B. \( y_p = A\cos(2x) + B\sin(2x) \)
C. \( y_p = x(A\cos(2x) + B\sin(2x)) \)
D. \( y_p = A\sin(2x) \)
Câu 10: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” + 9y = \cos(3x) \).
A. \( y_p = A\cos(3x) \)
B. \( y_p = A\cos(3x) + B\sin(3x) \)
C. \( y_p = x(A\cos(3x) + B\sin(3x)) \)
D. \( y_p = Ax\cos(3x) \)
Câu 11: Phương trình \( x^2 y” + axy’ + by = 0 \) được gọi là phương trình:
A. Bernoulli
B. Lagrange
C. Euler-Cauchy
D. Clairaut
Câu 12: Phép đặt nào dùng để giải phương trình vi phân Euler-Cauchy?
A. \( x = e^y \)
B. \( y = e^t \)
C. \( t = y/x \)
D. \( x = e^t \)
Câu 13: Giải phương trình \( x^2y” – 3xy’ + 3y = 0 \).
A. \( y = C_1 x + C_2 x^2 \)
B. \( y = C_1 x + C_2 x^3 \)
C. \( y = x(C_1 + C_2\ln x) \)
D. \( y = C_1 x^2 + C_2 x^3 \)
Câu 14: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Bernoulli \( y’ + \dfrac{y}{x} = y^2 \).
A. \( y(x\ln|x| + C) = 1 \)
B. \( y(C-x) = 1/x \)
C. \( y = \dfrac{1}{x(C – \ln|x|)} \)
D. \( y(C-x\ln|x|)=1 \)
Câu 15: Tìm nghiệm của phương trình \( y’ = \dfrac{y^2+1}{x^2+1} \) với \( y(0)=1 \).
A. \( y = \tan(x) + 1 \)
B. \( y = \dfrac{1+x}{1-x} \)
C. \( y = \dfrac{1-x}{1+x} \)
D. \( y = \tan(x+\pi/2) \)
Câu 16: Cho hệ phương trình vi phân \( \begin{cases} x’ = x+y \\ y’ = 4x+y \end{cases} \). Ma trận hệ số của hệ là:
A. \( \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
B. \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \)
C. \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \)
D. \( \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Câu 17: Các giá trị riêng của ma trận \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \) là:
A. \( \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 4 \)
B. \( \lambda_1 = -1, \lambda_2 = -3 \)
C. \( \lambda_1 = 2, \lambda_2 = -2 \)
D. \( \lambda_1 = 3, \lambda_2 = -1 \)
Câu 18: Nghiệm tổng quát của hệ phương trình \( \vec{x}’ = A\vec{x} \) với các giá trị riêng thực phân biệt \( \lambda_1, \lambda_2 \) và vector riêng tương ứng \( \vec{v}_1, \vec{v}_2 \) là:
A. \( \vec{x}(t) = C_1 e^{\lambda_1 t} + C_2 e^{\lambda_2 t} \)
B. \( \vec{x}(t) = C_1 e^{\lambda_1 t}\vec{v}_1 + C_2 e^{\lambda_2 t}\vec{v}_2 \)
C. \( \vec{x}(t) = (C_1\vec{v}_1 + C_2\vec{v}_2)e^{\lambda t} \)
D. \( \vec{x}(t) = C_1 t e^{\lambda_1 t}\vec{v}_1 + C_2 e^{\lambda_2 t}\vec{v}_2 \)
Câu 19: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân toàn phần \( (2x+y)dx + (x+2y)dy = 0 \).
A. \( x^2+xy+y^2=C \)
B. \( x^2+y^2=C \)
C. \( 2x^2+2y^2+xy=C \)
D. \( x^2-xy+y^2=C \)
Câu 20: Phương pháp biến thiên hằng số (Lagrange) được dùng để:
A. Tìm nghiệm của phương trình thuần nhất.
B. Tìm một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất.
C. Đưa phương trình về dạng tách biến.
D. Kiểm tra tính tuyến tính của phương trình.
Câu 21: Tìm nghiệm riêng của \( y” – y = \dfrac{e^x}{e^x+1} \) bằng phương pháp biến thiên hằng số.
A. \( y_p = \dfrac{1}{2} e^x \ln(e^x+1) \)
B. \( y_p = \dfrac{1}{2} (e^x \ln(e^x+1) – e^{-x} \arctan(e^x)) \) (biểu thức phức tạp hơn)
C. \( y_p = \dfrac{1}{2} e^x \ln(e^x+1) – \dfrac{1}{2} e^{-x} (e^x-\arctan(e^x)) \)
D. \( y_p = \dfrac{1}{2} [e^x(x-\ln(e^x+1)) – e^{-x}\arctan(e^x)] \)
Câu 22: Thừa số tích phân của phương trình \( y’ + \dfrac{1}{x}y = x^2 \) là:
A. \( e^x \)
B. \( x \)
C. \( 1/x \)
D. \( \ln x \)
Câu 23: Giải phương trình \( y’ + y\tan x = \sin(2x) \) với \( y(0)=1 \).
A. \( y = 3\cos x – 2\cos^2 x \)
B. \( y = \cos x + \sin^2 x \)
C. \( y = 2\cos x – \cos^2 x \)
D. \( y = 3\cos x + 2\sin^2 x \)
Câu 24: Cho \( y_1(x) \) và \( y_2(x) \) là hai nghiệm độc lập tuyến tính của một PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất. Định thức Wronski \( W(y_1, y_2) \) khác 0 có ý nghĩa gì?
A. Hai nghiệm này đồng biến.
B. Hai nghiệm này độc lập tuyến tính.
C. Hai nghiệm này phụ thuộc tuyến tính.
D. Hai nghiệm này là nghiệm của phương trình không thuần nhất.
Câu 25: Tìm định thức Wronski của các hàm \( y_1 = e^x, y_2 = e^{-x} \).
A. 0
B. 2
C. -2
D. \( 2e^x \)
Câu 26: Tìm nghiệm tổng quát của \( y”’ – y” = 0 \).
A. \( y = C_1 + C_2 x + C_3 e^{-x} \)
B. \( y = C_1 + C_2 x + C_3 e^x \)
C. \( y = C_1 + C_2 e^x + C_3 e^{-x} \)
D. \( y = C_1 x + C_2 x^2 + C_3 e^x \)
Câu 27: Phương trình \( y’ = f(ax+by+c) \) có thể được giải bằng phép đặt:
A. \( u = y/x \)
B. \( u = ax+by+c \)
C. \( u = xy \)
D. \( u = y^2 \)
Câu 28: Dùng phép biến đổi Laplace, nghiệm của \( y’+2y = \delta(t-1), y(0)=0 \), với \( \delta(t) \) là hàm delta Dirac, là:
A. \( y(t) = e^{-2t}u(t-1) \)
B. \( y(t) = e^{-2(t-1)}u(t-1) \)
C. \( y(t) = e^{2(t-1)}u(t-1) \)
D. \( y(t) = e^{-2t} \)
Câu 29: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Clairaut \( y = xy’ + (y’)^2 \).
A. \( y = Cx + C^2 \)
B. \( y = Cx – C^2 \)
C. \( y = Cx + C^2 \) và nghiệm kỳ dị \( y = -x^2/4 \)
D. \( y = Cx + C \)
Câu 30: Tìm nghiệm tổng quát của \( y’ = \dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y} \).
A. \( y^2 = x^2(\ln x^2 + C) \)
B. \( y^2 = x^2(\ln x^2 + C) \)
C. \( y^2 = x^2\ln x + C \)
D. \( y/x = \ln|x| + C \)
