Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 6 là phần học cuối cùng trong môn Toán Cao Cấp 2, thuộc chương trình giảng dạy bậc đại học tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội (HUST). Đề ôn tập này được biên soạn vào năm 2024 bởi ThS. Nguyễn Văn Quang – giảng viên Bộ môn Toán Ứng Dụng, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Chương 6 chủ yếu đề cập đến lý thuyết hàm phức, tích phân đường, định lý Cauchy, chuỗi Laurent, và phương pháp tính dư – các nội dung mang tính khái quát cao, thường được áp dụng trong kỹ thuật điện, cơ học kỹ thuật và phân tích tín hiệu. Bộ đề trắc nghiệm đại học giúp sinh viên nắm chắc nền tảng lý thuyết, phát triển tư duy toán học và kỹ năng xử lý các bài toán phức tạp trong môi trường đại học.
Thông qua nền tảng Dethitracnghiem.vn, sinh viên có thể tiếp cận bộ Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 6 một cách dễ dàng với hệ thống câu hỏi được phân chia hợp lý theo từng chuyên đề, kèm theo đáp án và lời giải chi tiết. Giao diện học tập thân thiện, cho phép làm bài trực tuyến nhiều lần, lưu trữ đề yêu thích và theo dõi tiến độ học tập bằng biểu đồ trực quan. Đây là công cụ hỗ trợ hiệu quả cho sinh viên các trường đại học trong quá trình ôn tập và chuẩn bị cho kỳ thi kết thúc học phần Toán Cao Cấp 2 một cách toàn diện và tự tin.
Bài Tập Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Chương 6
Câu 1: Tìm miền xác định D của hàm số \( z = \ln(x-y) \).
A. \( D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x > 0, y > 0 \} \)
B. \( D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x > y \} \)
C. \( D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x < y \} \)
D. \( D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x \neq y \} \)
Câu 2: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm số \( z = x^y \).
A. \( y x^{y-1} \)
B. \( x^y \ln x \)
C. \( y x^{y-1} \)
D. \( x^y \ln y \)
Câu 3: Tìm và phân loại điểm dừng của hàm số \( z = x^2 + y^2 + xy + x + y \).
A. Cực đại tại (-1/3, -1/3)
B. Cực tiểu tại (-1/3, -1/3)
C. Điểm yên ngựa tại (-1/3, -1/3)
D. Không có điểm dừng
Câu 4: Tính tích phân kép \( I = \int_0^1 \int_1^2 (x^2+y) dy dx \).
A. 2
B. 5/3
C. 11/6
D. 3
Câu 5: Đổi thứ tự lấy tích phân của \( I = \int_0^1 \int_{x^2}^x f(x,y) dy dx \).
A. \( \int_0^1 \int_y^{\sqrt{y}} f(x,y) dx dy \)
B. \( \int_0^1 \int_{\sqrt{y}}^y f(x,y) dx dy \)
C. \( \int_0^1 \int_y^{\sqrt{y}} f(x,y) dx dy \)
D. \( \int_0^1 \int_0^{\sqrt{y}} f(x,y) dx dy \)
Câu 6: Tính \( I = \iint_D \sqrt{x^2+y^2} dxdy \), trong đó D là hình tròn \( x^2+y^2 \le 4 \).
A. \( 8\pi \)
B. \( 4\pi/3 \)
C. \( 16\pi/3 \)
D. \( 8\pi/3 \)
Câu 7: Tính tích phân đường \( I = \int_C x ds \), với C là đoạn thẳng nối A(0,0) đến B(1,1).
A. \( \sqrt{2} \)
B. 1
C. \( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
D. 2
Câu 8: Tích phân \( I = \int_C Pdx + Qdy \) không phụ thuộc đường đi nếu:
A. P, Q liên tục.
B. \( \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x} \) trong một miền đơn liên.
C. C là đường cong kín.
D. \( P=Q \).
Câu 9: Tính \( \oint_C ydx – xdy \) với C là đường tròn \( x^2+y^2=R^2 \) ngược chiều kim đồng hồ.
A. \( -2\pi \)
B. \( 2\pi R^2 \)
C. \( -2\pi R^2 \)
D. 0
Câu 10: Tính diện tích mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=a^2 \).
A. \( \pi a^2 \)
B. \( 2\pi a^2 \)
C. \( \dfrac{4}{3}\pi a^3 \)
D. \( 4\pi a^2 \)
Câu 11: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y” + 2y’ – 3y = 0 \).
A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{3x} \)
B. \( y = C_1 e^x + C_2 e^{-3x} \)
C. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x} \)
D. \( y = e^{-x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) \)
Câu 12: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” + 4y = e^x \).
A. \( y_p = Axe^x \)
B. \( y_p = Ae^x \)
C. \( y_p = A\cos(2x)+B\sin(2x) \)
D. \( y_p = x(A\cos(2x)+B\sin(2x)) \)
Câu 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \( f(x,y) = x^2+y^2 \) với điều kiện \( x+2y=5 \).
A. 5
B. 10
C. 25
D. 1
Câu 14: Tính \( I = \int_0^1 \int_x^1 e^{y^2} dy dx \).
A. \( e-1 \)
B. \( e/2 \)
C. \( \dfrac{e-1}{2} \)
D. 2e
Câu 15: Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(x,y,z) \) qua mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=1 \) hướng ra ngoài.
A. \( 4\pi \)
B. \( 4\pi/3 \)
C. \( 4\pi \)
D. 0
Câu 16: curl(F) của trường \( \vec{F}(x,y,z) = (x^2, y^2, z^2) \) là:
A. \( (2x, 2y, 2z) \)
B. (0, 0, 0)
C. 1
D. \( 2x+2y+2z \)
Câu 17: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y’ = \dfrac{x^2}{y} \).
A. \( y^2 = \dfrac{2}{3}x^3 \)
B. \( y^2 = \dfrac{2}{3}x^3 + C \)
C. \( y = \dfrac{2}{3}x^3 + C \)
D. \( \ln|y| = \dfrac{x^3}{3} + C \)
Câu 18: Tính thể tích của khối trụ \( x^2+y^2 \le 1, 0 \le z \le 2 \).
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi \)
C. \( 4\pi \)
D. \( \pi/2 \)
Câu 19: Tính \( \oint_C (x^2-y^2)dx + (x^2+y^2)dy \) với C là biên của hình chữ nhật \( [0,2]\times[0,1] \), ngược chiều kim đồng hồ.
A. 2
B. 4
C. 6
D. 0
Câu 20: Tìm hàm thế vị \( U(x,y) \) của trường vector \( \vec{F} = (e^x\cos y)\vec{i} – (e^x\sin y)\vec{j} \).
A. \( U(x,y) = e^x \sin y + C \)
B. \( U(x,y) = e^x \cos y + C \)
C. \( U(x,y) = -e^x \cos y + C \)
D. Trường không có thế vị.
Câu 21: Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân \( \begin{cases} x’ = y \\ y’ = -x \end{cases} \) với \( x(0)=1, y(0)=0 \).
A. \( x(t)=\sin t, y(t)=\cos t \)
B. \( x(t)=\cos t, y(t)=-\sin t \)
C. \( x(t)=e^t, y(t)=e^t \)
D. \( x(t)=e^{-t}, y(t)=-e^{-t} \)
Câu 22: Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = t^2 e^{-3t} \).
A. \( \dfrac{2}{(s-3)^3} \)
B. \( \dfrac{2}{(s+3)^3} \)
C. \( \dfrac{2}{s^3} \)
D. \( \dfrac{6}{(s+3)^4} \)
Câu 23: Tìm chu kỳ của hàm số \( f(x) = |\sin x| \).
A. \( 2\pi \)
B. \( \pi \)
C. \( \pi/2 \)
D. Hàm không tuần hoàn.
Câu 24: Tính tích phân mặt \( \iint_S zdS \), với S là phần mặt phẳng \( x+y+z=1 \) nằm trong góc phần tám thứ nhất.
A. \( \sqrt{3}/3 \)
B. \( \sqrt{3}/6 \)
C. \( \sqrt{3}/2 \)
D. \( \sqrt{3} \)
Câu 25: Phân loại điểm dừng (0,0) của hàm số \( z = xy(1-x-y) \).
A. Cực đại
B. Cực tiểu
C. Điểm yên ngựa
D. Không phải điểm dừng
Câu 26: Cho \( \vec{F} = (2x, 3y, 4z) \). Tính div(F).
A. 0
B. 2
C. 3
D. 9
Câu 27: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^2y” + 4xy’ + 2y = 0 \).
A. \( y = C_1 x^{-1} + C_2 x^{2} \)
B. \( y = C_1 x^{-1} + C_2 x^{-2} \)
C. \( y = x^{-1}(C_1+C_2\ln x) \)
D. \( y = C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x) \)
Câu 28: Tính \( \int_C (x-y)ds \) với C là đường cong \( y = x^2 \) từ (0,0) đến (1,1).
A. \( \dfrac{1}{12}(5\sqrt{5}-1) \)
B. \( \dfrac{1}{12}(5\sqrt{5}-1) \)
C. \( \dfrac{1}{6}(5\sqrt{5}-1) \)
D. \( \dfrac{1}{12}(2\sqrt{2}-1) \)
Câu 29: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{s+1}{s^2+1} \).
A. \( \cos t + e^t \)
B. \( \cos t + \sin t \)
C. \( e^t \cos t \)
D. \( \cosh t + \sinh t \)
Câu 30: Cho trường \( \vec{F}=(y^2, x^2) \). Áp dụng định lý Green để tính \( \oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} \) với C là biên của tam giác có đỉnh (0,0), (1,0), (0,1).
A. 1/3
B. -1/3
C. 1/6
D. 0
