Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 7 là nội dung nâng cao trong môn Toán Cao Cấp 2, được giảng dạy tại các trường đại học kỹ thuật, trong đó có Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội (HUST). Đề ôn tập này do ThS. Nguyễn Văn Quang – giảng viên Bộ môn Toán Ứng Dụng, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội – biên soạn vào năm 2024. Chương 7 tập trung vào các phương pháp giải phương trình đạo hàm riêng, bao gồm phân loại phương trình, phương pháp biến đổi Fourier, biến đổi Laplace và các điều kiện biên. Đây là phần kiến thức quan trọng giúp sinh viên hiểu rõ các hiện tượng vật lý mô hình hóa bằng toán học, thường ứng dụng trong lĩnh vực cơ học, truyền nhiệt và kỹ thuật xây dựng.
Trên nền tảng Dethitracnghiem.vn, sinh viên các trường đại học có thể luyện tập với bộ Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 7 thông qua hệ thống bài trắc nghiệm được tổ chức khoa học, có đáp án và lời giải chi tiết cho từng câu hỏi. Giao diện thân thiện, dễ sử dụng, cho phép người học làm bài không giới hạn số lần, lưu đề yêu thích và theo dõi tiến độ ôn tập qua biểu đồ cá nhân. Đây là công cụ học tập lý tưởng hỗ trợ sinh viên củng cố kiến thức chuyên sâu, nâng cao khả năng giải quyết bài toán phức tạp trong chương trình trắc nghiệm đại học.
Bài Tập Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Chương 7
Câu 1: Tìm miền xác định của hàm số \( z = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2-1}} \).
A. \( \{(x,y) | x^2+y^2 \ge 1 \} \)
B. \( \{(x,y) | x^2+y^2 > 1 \} \)
C. \( \{(x,y) | x^2+y^2 < 1 \} \)
D. \( \{(x,y) | x^2+y^2 \neq 1 \} \)
Câu 2: Tìm và phân loại điểm dừng của hàm số \( z = x^2 + y^2 – 4x + 6y + 20 \).
A. Đạt cực đại tại (2, -3)
B. Đạt cực tiểu tại (2, -3)
C. Đạt cực tiểu tại (-2, 3)
D. Điểm yên ngựa tại (2, -3)
Câu 3: Tìm vi phân toàn phần của hàm số \( z = e^x \sin y \).
A. \( dz = e^x \cos y dx + e^x \sin y dy \)
B. \( dz = e^x (\sin y dx – \cos y dy) \)
C. \( dz = e^x \sin y dx + e^x \cos y dy \)
D. \( dz = e^x dx + \cos y dy \)
Câu 4: Tính tích phân kép \( I = \int_0^1 \int_0^2 xy \, dy dx \).
A. 2
B. 1
C. 1/2
D. 4
Câu 5: Đổi thứ tự lấy tích phân của \( I = \int_0^4 \int_{\sqrt{y}}^2 f(x,y) dx dy \).
A. \( \int_0^2 \int_0^{x} f(x,y) dy dx \)
B. \( \int_0^2 \int_0^{x^2} f(x,y) dy dx \)
C. \( \int_0^4 \int_0^{x^2} f(x,y) dy dx \)
D. \( \int_0^2 \int_{\sqrt{y}}^2 f(x,y) dy dx \)
Câu 6: Tính \( I = \iint_D \dfrac{1}{1+x^2+y^2} dxdy \), trong đó D là hình tròn \( x^2+y^2 \le 1 \).
A. \( 2\pi\ln(2) \)
B. \( \pi\ln(2) \)
C. \( \pi \)
D. \( \pi/2 \)
Câu 7: Tính tích phân đường \( I = \int_C (x^2+y^2) ds \), với C là nửa đường tròn \( x=\cos t, y=\sin t \) với \( 0 \le t \le \pi \).
A. 2
B. \( 2\pi \)
C. 1
D. \( \pi \)
Câu 8: Áp dụng công thức Green để tính \( \oint_C (y^2) dx + (3x) dy \), với C là biên của hình chữ nhật \( [0,1]\times[1,2] \).
A. 1
B. 3/2
C. 2
D. 0
Câu 9: Tính tích phân mặt \( I = \iint_S (x+y+z) dS \), với S là phần mặt phẳng \( x+y+z=1 \) nằm trong góc phần tám thứ nhất.
A. \( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \)
B. \( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)
C. \( \sqrt{3} \)
D. \( \dfrac{1}{2} \)
Câu 10: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ – \dfrac{y}{x} = x^2 \).
A. \( y = \dfrac{x^3}{3} + Cx \)
B. \( y = \dfrac{x^3}{2} + Cx \)
C. \( y = x^2 + Cx \)
D. \( y = \dfrac{x^2}{2} + C \)
Câu 11: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” – y’ – 2y = 0 \).
A. \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{x} \)
B. \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} \)
C. \( y = C_1 e^{-2x} + C_2 e^{-x} \)
D. \( y = e^{x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \)
Câu 12: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” + 4y = x\sin(2x) \).
A. \( y_p = (Ax+B)\sin(2x) + (Cx+D)\cos(2x) \)
B. \( y_p = x(A\sin(2x)+B\cos(2x)) \)
C. \( y_p = x[(Ax+B)\sin(2x) + (Cx+D)\cos(2x)] \)
D. \( y_p = A x^2 \sin(2x) \)
Câu 13: Tìm giá trị lớn nhất của hàm \( f(x,y) = xy \) với điều kiện \( x^2+y^2=8 \).
A. 8
B. 4
C. 2
D. 16
Câu 14: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid \( z=x^2+y^2 \) và mặt phẳng \( z=4 \).
A. \( 4\pi \)
B. \( 8\pi \)
C. \( 16\pi \)
D. \( 2\pi \)
Câu 15: Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(0,y,0) \) qua mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=1 \) hướng ra ngoài.
A. \( \pi \)
B. \( 4\pi \)
C. \( 4\pi/3 \)
D. 0
Câu 16: div(F) của trường \( \vec{F}(x,y,z) = (xy, yz, zx) \) là:
A. \( x+y+z \)
B. \( y+z+x \)
C. \( (y,z,x) \)
D. 0
Câu 17: Tìm nghiệm của phương trình \( y’ = y\cos x \) với \( y(\pi/2)=1 \).
A. \( y = e^{\sin x – 1} \)
B. \( y = e^{\sin x} \)
C. \( y = \sin x \)
D. \( y = \ln(\sin x) + 1 \)
Câu 18: Tính thể tích của khối hộp \( V = [0,2]\times[0,3]\times[0,4] \).
A. 9
B. 12
C. 24
D. 18
Câu 19: Tính \( \int_C (2x dx + z dy + y dz) \) với C là đường thẳng từ (0,0,0) đến (1,1,1).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 20: Trường vector \( \vec{F}=(3x^2y, x^3, 2z) \) có thế vị là:
A. \( U = x^3y + z^2+C \)
B. \( U = x^3y + C \)
C. \( U = x^3y + 2z+C \)
D. \( U = x^3y + z^2 + C \)
Câu 21: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình \( \begin{cases} x’ = 2x \\ y’ = 3y \end{cases} \).
A. \( x=e^{2t}+C_1, y=e^{3t}+C_2 \)
B. \( x=C_1e^{2t}, y=C_2e^{3t} \)
C. \( x=C_1\cos(2t), y=C_2\sin(3t) \)
D. \( x=2C_1e^{2t}, y=3C_2e^{3t} \)
Câu 22: Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = t e^{t} \).
A. \( \dfrac{1}{(s-1)} \)
B. \( \dfrac{1}{(s-1)^2} \)
C. \( \dfrac{s}{(s-1)^2} \)
D. \( \dfrac{1}{s^2-1} \)
Câu 23: Chuỗi Fourier của hàm \( f(x) = \sin^2 x \) trên \( [-\pi, \pi] \) là:
A. \( \sin^2 x \)
B. \( 1-\cos(2x) \)
C. \( \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{2}\cos(2x) \)
D. \( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\cos(2x) \)
Câu 24: Tính tích phân đường loại 1 \( \int_C \dfrac{ds}{x^2+y^2} \), với C là đường tròn \( x^2+y^2=4 \).
A. 2
B. \( \pi/2 \)
C. \( \pi/2 \)
D. \( \pi \)
Câu 25: Phân loại điểm dừng (0,0) của hàm số \( z = \cos(x^2+y^2) \).
A. Cực đại
B. Cực tiểu
C. Điểm yên ngựa
D. Không phải điểm dừng
Câu 26: Cho \( \vec{F} = (-y, x, z) \). Tính curl(F).
A. (0, 0, 0)
B. (0, 0, 2)
C. (0, 0, 1)
D. (1, 1, 1)
Câu 27: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^2y” – 2y = 0 \).
A. \( y = C_1 x + C_2 x^{-2} \)
B. \( y = C_1 x^2 + C_2 x^{-1} \)
C. \( y = x(C_1+C_2\ln x) \)
D. \( y = C_1 \cos(2\ln x) + C_2 \sin(2\ln x) \)
Câu 28: Tính \( \int_C (y dx – x dy) \) với C là đoạn thẳng từ (1,1) đến (2,3).
A. -2
B. -4
C. -1
D. 0
Câu 29: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{1}{s(s-1)} \).
A. \( 1-e^t \)
B. \( e^t – 1 \)
C. \( e^t+1 \)
D. \( t-e^t \)
Câu 30: Tích phân \( I = \iint_D (x\sin y – y\sin x)dxdy \) với D là hình tròn \( x^2+y^2 \le 1 \) có giá trị bằng:
A. 0
B. \( \pi \)
C. \( 2\pi \)
D. 1
