Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Trường Đại Học Ngoại Thương là bộ câu hỏi ôn tập chuyên sâu thuộc học phần Toán Cao Cấp 2, được giảng dạy tại các khoa Kinh tế, Quản trị và Tài chính của Trường Đại học Ngoại thương (FTU). Đề ôn tập này được biên soạn bởi ThS. Nguyễn Thị Minh Thư – giảng viên Khoa Toán Kinh tế, Trường Đại học Ngoại thương – vào năm 2024. Nội dung bài trắc nghiệm tập trung vào các chủ đề quan trọng như chuỗi số, biến đổi Laplace, chuỗi Fourier, hàm biến phức, và phương trình đạo hàm riêng, với mục tiêu giúp sinh viên vận dụng công cụ toán học vào phân tích mô hình kinh tế, tài chính và dữ liệu. Các câu hỏi được trình bày theo hình thức trắc nghiệm đại học khách quan, phù hợp với định hướng học tập ứng dụng tại bậc đại học.
Trên nền tảng Dethitracnghiem.vn, sinh viên có thể tiếp cận bộ Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Trường Đại Học Ngoại Thương một cách thuận tiện và hiệu quả. Hệ thống đề được tổ chức theo từng chương, có đáp án rõ ràng và lời giải chi tiết, hỗ trợ sinh viên tự học và kiểm tra năng lực một cách chính xác. Ngoài ra, website còn cung cấp các tính năng hữu ích như lưu đề yêu thích, làm bài nhiều lần và theo dõi tiến trình học tập thông qua biểu đồ cá nhân. Đây là công cụ học tập toàn diện giúp sinh viên FTU củng cố kiến thức nền tảng và sẵn sàng chinh phục các kỳ thi môn Toán Cao Cấp 2.
Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Trường Đại học Ngoại thương
Câu 1: Cho hàm sản xuất Cobb-Douglas \( Q = 10L^{0.5}K^{0.5} \). Tìm sản phẩm cận biên của lao động (MPL) tại (L,K) = (4,9).
A. 15
B. 10/3
C. 7.5
D. 5
Câu 2: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm số \( z = x^2y – e^{xy} \).
A. \( 2xy – e^{xy} \)
B. \( 2xy – xe^{xy} \)
C. \( 2xy – ye^{xy} \)
D. \( x^2 – ye^{xy} \)
Câu 3: Tìm cực trị của hàm số \( z = x^2+y^2-xy+x+y \).
A. Đạt cực đại tại (-1, -1)
B. Đạt cực tiểu tại (-1, -1)
C. Điểm yên ngựa tại (-1, -1)
D. Không có điểm dừng
Câu 4: Tính tích phân kép \( I = \int_0^1 \int_0^2 (x+2y) dy dx \).
A. 2
B. 3
C. 5
D. 4
Câu 5: Đổi thứ tự lấy tích phân của \( I = \int_0^2 \int_0^{x^2} f(x,y) dy dx \).
A. \( \int_0^4 \int_{\sqrt{y}}^4 f(x,y) dx dy \)
B. \( \int_0^2 \int_{\sqrt{y}}^2 f(x,y) dx dy \)
C. \( \int_0^4 \int_{\sqrt{y}}^2 f(x,y) dx dy \)
D. \( \int_0^4 \int_0^{\sqrt{y}} f(x,y) dx dy \)
Câu 6: Tính \( I = \iint_D (x^2+y^2) dxdy \), trong đó D là hình tròn \( x^2+y^2 \le 1 \).
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi \)
C. \( \pi/2 \)
D. \( \pi/4 \)
Câu 7: Một doanh nghiệp sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất \( Q=10\sqrt{L} \). Giá mỗi sản phẩm là 5, giá thuê lao động là 2. Hàm lợi nhuận là:
A. \( \Pi(L) = 50\sqrt{L} – 2L \)
B. \( \Pi(L) = 10\sqrt{L} – 2L \)
C. \( \Pi(L) = 50\sqrt{L} – 2 \)
D. \( \Pi(L) = 50\sqrt{L} – 2L \)
Câu 8: Tính tích phân đường loại 2 \( I = \int_C (x+y)dx + (x-y)dy \), với C là đoạn thẳng nối A(0,0) đến B(1,2).
A. 1
B. 2
C. -1
D. 0
Câu 9: Áp dụng công thức Green để tính \( \oint_C (y^2)dx + (2x)dy \), với C là biên của hình vuông \( [0,2]\times[0,2] \).
A. 2
B. 4
C. 0
D. 8
Câu 10: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ – 3y = e^{3x} \).
A. \( y = (C+x)e^{-3x} \)
B. \( y = (C+x)e^{3x} \)
C. \( y = Ce^{3x} + x \)
D. \( y = Cx e^{3x} \)
Câu 11: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” + 2y’ + 2y = 0 \).
A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{x} \)
B. \( y = e^{-x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x) \)
C. \( y = e^{x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x) \)
D. \( y = C_1 \cos x + C_2 \sin x \)
Câu 12: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” + 3y’ = 2x+1 \).
A. \( y_p = Ax+B \)
B. \( y_p = x(Ax+B) \)
C. \( y_p = Ax^2+Bx+C \)
D. \( y_p = A \)
Câu 13: Tìm giá trị lớn nhất của hàm lợi ích \( U(x,y)=xy \) với ràng buộc ngân sách \( x+2y=20 \).
A. 20
B. 50
C. 100
D. 25
Câu 14: Tính thể tích của vật thể nằm dưới mặt \( z = x+y \) và trên hình chữ nhật \( R=[0,1]\times[0,2] \) trong mặt phẳng xy.
A. 2
B. 3
C. 4
D. 1
Câu 15: Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(x,y,z) \) qua mặt bên của hình trụ \( x^2+y^2=1, 0 \le z \le 1 \).
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi \)
C. \( 3\pi \)
D. 0
Câu 16: Tích phân đường \( I = \int_C (2xy dx + x^2 dy) \) không phụ thuộc đường đi vì:
A. \( \dfrac{\partial P}{\partial x} = \dfrac{\partial Q}{\partial y} \)
B. \( \dfrac{\partial P}{\partial y} = \dfrac{\partial Q}{\partial x} \)
C. C là đường cong trơn
D. P, Q là các hàm liên tục
Câu 17: Tìm nghiệm của phương trình \( y’ = y(2-y) \) với \( y(0)=1 \). (Mô hình Logistic)
A. \( y(t) = \dfrac{2}{1+e^{2t}} \)
B. \( y(t) = \dfrac{2}{1+e^{-2t}} \)
C. \( y(t) = \dfrac{1}{1+e^{-2t}} \)
D. \( y(t) = \dfrac{2e^{2t}}{1-e^{2t}} \)
Câu 18: Tính tích phân bội ba \( I = \int_0^1 \int_0^z \int_0^y (1) dx dy dz \).
A. 1/2
B. 1/3
C. 1/6
D. 1
Câu 19: Tính \( \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \) với \( \vec{F} = \nabla(x^2+y^2) \) và C là đường cong bất kỳ từ A(0,1) đến B(1,0).
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
Câu 20: Tích phân nào sau đây dùng để tính tổng doanh thu trong 5 năm đầu, biết hàm doanh thu theo thời gian là R(t)?
A. \( \int_0^5 R'(t) dt \)
B. \( \int_0^5 R(t) dt \)
C. \( R(5) – R(0) \)
D. \( \dfrac{R(5)}{5} \)
Câu 21: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình \( \begin{cases} x’ = 4x+y \\ y’ = -2x+y \end{cases} \).
A. \( \vec{x}(t) = C_1e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} + C_2e^{3t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)
B. \( \vec{x}(t) = C_1e^{-2t}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} + C_2e^{-3t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)
C. \( \vec{x}(t) = C_1e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} + C_2e^{3t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)
D. \( \vec{x}(t) = e^{2t}(C_1\cos(3t) + C_2\sin(3t)) \)
Câu 22: Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = e^{-t}\sin(2t) \).
A. \( \dfrac{2}{(s-1)^2+4} \)
B. \( \dfrac{2}{(s+1)^2+4} \)
C. \( \dfrac{s+1}{(s+1)^2+4} \)
D. \( \dfrac{s-1}{(s-1)^2+4} \)
Câu 23: Cho hàm lợi ích \( U(x,y)=x^{0.4}y^{0.6} \). Tỷ lệ thay thế cận biên (MRS) của x cho y là:
A. \( \dfrac{y}{x} \)
B. \( \dfrac{2y}{3x} \)
C. \( \dfrac{3y}{2x} \)
D. \( \dfrac{x}{y} \)
Câu 24: Tính diện tích mặt \( z = \sqrt{4-x^2-y^2} \).
A. \( 4\pi \)
B. \( 8\pi \)
C. \( 16\pi \)
D. \( 2\pi \)
Câu 25: Phân loại điểm dừng (0,0) của hàm số \( z = x^2+2xy+y^2 \).
A. Cực đại
B. Cực tiểu
C. Điểm yên ngựa
D. Không thể kết luận bằng tiêu chuẩn cấp 2
Câu 26: Cho \( \vec{F} = (x,y,z) \). Tính thông lượng của \( \vec{F} \) qua mặt kín là biên của khối hộp \( [0,1]^3 \).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 27: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^2y” – xy’ + y = 0 \).
A. \( y = C_1 x + C_2 x^{-1} \)
B. \( y = x(C_1+C_2\ln x) \)
C. \( y = C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x) \)
D. \( y = C_1 x + C_2 x^2 \)
Câu 28: Tính \( I = \int_C (x^2 ds) \) với C là đoạn thẳng từ (0,0) đến (1,2).
A. \( \sqrt{5}/3 \)
B. \( \sqrt{5}/3 \)
C. \( 2\sqrt{5}/3 \)
D. \( \sqrt{5} \)
Câu 29: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{e^{-2s}}{s^2+1} \).
A. \( \sin(t)u(t-2) \)
B. \( \sin(t-2)u(t-2) \)
C. \( \cos(t-2)u(t-2) \)
D. \( e^{-2t}\sin t \)
Câu 30: Tích phân nào sau đây dùng để tính giá trị hiện tại của một dòng tiền \( C(t) \) trong T năm với lãi suất r?
A. \( \int_0^T C(t)e^{rt} dt \)
B. \( \int_0^T C(t)e^{-rt} dt \)
C. \( \int_0^T C(t) dt \)
D. \( C(T)e^{-rT} \)
