Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật – Đại Học Đà Nẵng là bộ đề ôn tập được thiết kế cho sinh viên các ngành kỹ thuật và công nghệ thuộc Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật – Đại học Đà Nẵng (UTE – UD). Đề ôn tập này được biên soạn vào năm 2024 bởi ThS. Nguyễn Thị Thanh Hà – giảng viên Bộ môn Toán, Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Sư Phạm Kỹ Thuật – Đại học Đà Nẵng. Nội dung đề bao gồm các chuyên đề then chốt như chuỗi số, chuỗi Fourier, biến đổi Laplace, hàm biến phức, phương trình đạo hàm riêng và tích phân suy rộng. Hệ thống câu hỏi được thiết kế theo dạng trắc nghiệm khách quan, bám sát nội dung học phần trắc nghiệm đại học, giúp sinh viên phát triển khả năng tính toán và tư duy giải quyết vấn đề trong lĩnh vực kỹ thuật.
Trên nền tảng Dethitracnghiem.vn, sinh viên có thể tiếp cận nhanh chóng bộ Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật – Đại Học Đà Nẵng thông qua giao diện học tập đơn giản, rõ ràng. Hệ thống cung cấp đề thi được phân chia theo từng chương, có kèm đáp án và lời giải chi tiết giúp người học tự ôn luyện hiệu quả. Tính năng lưu đề, làm bài không giới hạn và theo dõi tiến độ qua biểu đồ kết quả cá nhân là những tiện ích giúp sinh viên UTE – UD tối ưu hóa quá trình học tập và tự tin bước vào các kỳ thi quan trọng của học phần Toán Cao Cấp 2.
Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Trường Đại học Sư Phạm Kỹ thuật – Đại học Đà Nẵng
Câu 1: Cho hàm số \( z = e^{xy} + x^2y \). Tính \( \dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \).
A. \( e^{xy}(1+xy) + 2x \)
B. \( x^2 e^{xy} + 2x \)
C. \( e^{xy}(1+xy) + 2x \)
D. \( ye^{xy}(1+x) + 2x \)
Câu 2: Tìm và phân loại điểm dừng của hàm số \( z = x^4 + y^4 – 4xy + 1 \).
A. (0,0) là cực tiểu, (1,1) và (-1,-1) là điểm yên ngựa.
B. (0,0) là điểm yên ngựa, (1,1) và (-1,-1) là các điểm cực tiểu.
C. (0,0), (1,1), (-1,-1) đều là điểm cực tiểu.
D. (0,0) là cực đại, (1,1) và (-1,-1) là các điểm cực tiểu.
Câu 3: Đổi thứ tự lấy tích phân của \( I = \int_0^8 \int_{\sqrt[3]{y}}^2 f(x,y) dx dy \).
A. \( \int_0^2 \int_0^{x} f(x,y) dy dx \)
B. \( \int_0^2 \int_0^{x^3} f(x,y) dy dx \)
C. \( \int_0^8 \int_0^{x^3} f(x,y) dy dx \)
D. \( \int_0^2 \int_0^{\sqrt{y}} f(x,y) dy dx \)
Câu 4: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt paraboloid \( z=x^2+y^2 \) và \( z=2-x^2-y^2 \).
A. \( 2\pi \)
B. \( \pi/2 \)
C. \( \pi \)
D. \( 4\pi/3 \)
Câu 5: Tính tích phân đường \( I = \int_C z ds \), với C là đường xoắn ốc \( x=\cos t, y=\sin t, z=t \) từ \( t=0 \) đến \( t=2\pi \).
A. \( \sqrt{2}\pi^2 \)
B. \( 2\pi^2 \)
C. \( 2\sqrt{2}\pi^2 \)
D. \( 4\pi^2 \)
Câu 6: Cho trường vector \( \vec{F}=(y, 2x) \). Tính \( \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \) với C là biên của hình chữ nhật \( [0,2]\times[0,1] \).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Câu 7: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ + \dfrac{y}{x} = \cos x \).
A. \( y = \dfrac{\sin x + C}{x} \)
B. \( y = \dfrac{\sin x + C}{x} \)
C. \( y = \dfrac{x\sin x – \cos x + C}{x} \)
D. \( y = \sin x + \dfrac{C}{x} \)
Câu 8: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” + 4y’ + 13y = 0 \).
A. \( y = e^{2x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) \)
B. \( y = e^{-2x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) \)
C. \( y = e^{-2x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) \)
D. \( y = e^{3x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \)
Câu 9: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” – 2y’ + y = 2xe^x \).
A. \( y_p = (Ax+B)e^x \)
B. \( y_p = x(Ax+B)e^x \)
C. \( y_p = x^2(Ax+B)e^x \)
D. \( y_p = Axe^x \)
Câu 10: curl(F) của trường \( \vec{F}(x,y,z) = (yz, xz, xy) \) là:
A. \( (x,y,z) \)
B. \( (y,z,x) \)
C. \( (x-z, y-x, z-y) \)
D. \( (0,0,0) \)
Câu 11: Tìm cực trị của hàm số \( z = 4x+6y-x^2-y^2 \).
A. Đạt cực tiểu tại (2,3)
B. Đạt cực đại tại (2,3)
C. Điểm yên ngựa tại (2,3)
D. Không có điểm dừng.
Câu 12: Tính \( I = \iint_D \dfrac{dxdy}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \), D là hình tròn \( x^2+y^2 \le 1/4 \).
A. \( \pi(2-\sqrt{3}) \)
B. \( \pi(2-\sqrt{3}) \)
C. \( 2\pi(1-\sqrt{3}/2) \)
D. \( \pi(1-\sqrt{3}/2) \)
Câu 13: Tính tích phân đường \( \int_C (2x+y)dx – xdy \) với C là đoạn thẳng từ A(1,1) đến B(0,0).
A. -2
B. 2
C. 0
D. 1
Câu 14: Tính diện tích của phần mặt trụ \( x^2+z^2=a^2 \) nằm bên trong mặt trụ \( x^2+y^2=a^2 \).
A. \( 4a^2 \)
B. \( 2a^2 \)
C. \( 8a^2 \)
D. \( 16a^2 \)
Câu 15: Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân \( \begin{cases} x’ = 2x+y \\ y’ = 3x+4y \end{cases} \).
A. \( \vec{x}(t) = C_1e^{t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + C_2e^{5t}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \)
B. \( \vec{x}(t) = C_1e^{-t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + C_2e^{-5t}\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} \)
C. \( \vec{x}(t) = C_1e^{t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + C_2e^{5t}\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \)
D. \( \vec{x}(t) = C_1e^{t}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} + C_2e^{5t}\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \)
Câu 16: Tìm vi phân cấp 2 của hàm số \( z = xy \).
A. \( d^2z = 2dxdy \)
B. \( d^2z = 2dxdy \)
C. \( d^2z = 0 \)
D. \( d^2z = xdx^2+ydy^2 \)
Câu 17: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi \( z=0, z=x^2+y^2, x^2+y^2=1, x^2+y^2=4 \).
A. \( 15\pi \)
B. \( 15\pi/2 \)
C. \( 8\pi \)
D. \( 7\pi/2 \)
Câu 18: Tính tích phân mặt \( \iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S} \), với \( \vec{F}=(z,y,x) \) và S là mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=1 \) hướng ra ngoài.
A. \( 4\pi \)
B. \( 4\pi/3 \)
C. \( 4\pi/3 \)
D. 0
Câu 19: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ – y = xy^2 \).
A. \( y(-x-1+Ce^x)=1 \)
B. \( y = \dfrac{1}{-x-1+Ce^x} \)
C. \( y = \dfrac{1}{-x-1+Ce^x} \)
D. \( y = \dfrac{1}{x+1+Ce^{-x}} \)
Câu 20: Trường \( \vec{F} = (y^2+2xz, 2xy+z^2, 2yz+x^2) \) có phải trường thế không?
A. Có
B. Không
C. Chỉ là trường thế khi x=y=z
D. Không xác định.
Câu 21: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số \( z = x^2+y^2 \) với điều kiện \( \dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}=1 \).
A. \( 36/13 \) tại \( (18/13, 12/13) \)
B. \( 36/13 \) tại \( (18/13, 12/13) \)
C. \( 1 \) tại \( (2,0) \)
D. \( 1 \) tại \( (0,3) \)
Câu 22: Tính tích phân kép \( \iint_D \cos(x+y) dxdy \), D là miền tam giác có đỉnh (0,0), \( (\pi,0) \), \( (\pi,\pi) \).
A. 2
B. 0
C. -2
D. \( \pi \)
Câu 23: Tính \( \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \) với \( \vec{F} = (x-y, y-z, z-x) \) và C là giao tuyến của \( x^2+y^2=1 \) và \( z=2 \).
A. \( 2\pi \)
B. \( 2\pi \)
C. \( -2\pi \)
D. 0
Câu 24: Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(x,y,z) \) qua biên của khối tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng \( x+y+z=1 \).
A. 1/6
B. 1/2
C. 1/2
D. 1
Câu 25: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^2y” + xy’ – 4y = 0 \).
A. \( y = C_1 x^{2} + C_2 x^{-2} \)
B. \( y = x^2(C_1+C_2\ln x) \)
C. \( y = C_1 x^2 + C_2 x^{-2} \)
D. \( y = C_1 \cos(2\ln x) + C_2 \sin(2\ln x) \)
Câu 26: Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = t\cos(at) \).
A. \( \dfrac{s^2+a^2}{(s^2-a^2)^2} \)
B. \( \dfrac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2} \)
C. \( \dfrac{2as}{(s^2+a^2)^2} \)
D. \( \dfrac{s}{(s^2+a^2)^2} \)
Câu 27: Hệ số \( a_n \) trong khai triển Fourier của hàm \( f(x)=x^2 \) trên \( [-\pi, \pi] \) là:
A. \( \dfrac{4(-1)^n}{n^2} \)
B. \( \dfrac{2(-1)^n}{n^2} \)
C. 0
D. \( \dfrac{4}{n^2} \)
Câu 28: Tính \( \oint_C y^2 dx + x^2 dy \) với C là biên của tam giác có đỉnh (0,0), (1,0), (0,1).
A. 1/3
B. 0
C. -1/3
D. 1
Câu 29: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y”-y’ = x \).
A. \( y_p=Ax+B \)
B. \( y_p=x(Ax+B) \)
C. \( y_p=Ax^2+Bx+C \)
D. \( y_p=Axe^x \)
Câu 30: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{e^{-s}}{s+1} \).
A. \( e^{-t} u(t-1) \)
B. \( e^{-(t-1)} u(t-1) \)
C. \( e^{t-1} u(t-1) \)
D. \( e^{-t} u(t) \)
