Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Trường Đại Học Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG TP.HCM là bộ đề ôn tập quan trọng thuộc học phần Toán Cao Cấp 2, được giảng dạy trong chương trình đào tạo đại học tại Trường Đại học Công nghệ Thông tin – Đại học Quốc gia TP.HCM (UIT). Đề ôn tập này được biên soạn vào năm 2024 bởi ThS. Lê Quốc Hưng – giảng viên Bộ môn Toán, Khoa Khoa học Máy tính, Trường Đại học Công nghệ Thông tin – ĐHQG TP.HCM. Nội dung đề tập trung vào các chủ đề nền tảng như chuỗi số, biến đổi Laplace, chuỗi Fourier, hàm biến phức và phương trình đạo hàm riêng, giúp sinh viên phát triển tư duy toán học, nâng cao khả năng xử lý số liệu và giải quyết các bài toán kỹ thuật trong lĩnh vực công nghệ thông tin.
Trên nền tảng Dethitracnghiem.vn, sinh viên có thể tiếp cận bộ Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Trường Đại Học Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG TP.HCM với hệ thống câu hỏi trắc nghiệm đại học được phân chia rõ ràng theo từng chương, kèm đáp án chính xác và lời giải chi tiết. Giao diện trực quan, dễ sử dụng, hỗ trợ làm bài nhiều lần, lưu đề yêu thích và theo dõi tiến độ học tập qua biểu đồ cá nhân. Đây là công cụ học tập hiện đại và thiết thực giúp sinh viên UIT củng cố kiến thức toán học ứng dụng, từ đó chuẩn bị tốt cho các kỳ thi giữa kỳ và cuối kỳ của môn Toán Cao Cấp 2.
Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Trường Đại học Công nghệ Thông tin – ĐHQG TP.HCM
Câu 1: Cho hàm số \( z = f(x,y) = x^y \). Tính \( \dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \).
A. \( x^{y-1}(1+y\ln x) \)
B. \( yx^{y-1} + x^y \ln x \)
C. \( x^{y-1}(1+y\ln x) \)
D. \( x^{y-1} + yx^{y-1} \ln x \)
Câu 2: Tìm cực trị của hàm số \( z = x^4+y^4-x^2-2xy-y^2 \).
A. Cực tiểu tại (1,1) và (-1,-1)
B. Cực tiểu tại (1,1) và (-1,-1)
C. Điểm yên ngựa tại (0,0) và cực tiểu tại (1,1), (-1,-1)
D. Cực đại tại (1,1) và (-1,-1)
Câu 3: Tính tích phân kép \( I = \iint_D \dfrac{dxdy}{(x+y)^2} \), D là hình vuông \( [1,2]\times[1,2] \).
A. \( \ln(4/3) \)
B. \( \ln(4/3) \)
C. \( \ln(3/2) \)
D. \( \ln(2) \)
Câu 4: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt trụ \( z=4-y^2 \) và các mặt phẳng \( x=0, x=2, y=0, z=0 \).
A. 16/3
B. 8
C. 16/3
D. 32/3
Câu 5: Tính tích phân đường loại 1 \( I = \int_C (x^2+y^2) ds \), với C là đường Astroid \( x=a\cos^3 t, y=a\sin^3 t \).
A. \( 3a^3/2 \)
B. \( 3a^3/2 \)
C. \( 3a^3 \)
D. \( 3\pi a^3/2 \)
Câu 6: Cho trường vector \( \vec{F}=(y^2-2x, 2xy+x^2) \). Tính công của \( \vec{F} \) đi từ (0,0) đến (1,1) theo đường \( y=x^2 \).
A. -1/3
B. -1/3
C. 1/3
D. 0
Câu 7: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ – \dfrac{2y}{x+1} = (x+1)^3 \).
A. \( y = \dfrac{(x+1)^4}{2} + C(x+1)^2 \)
B. \( y = \dfrac{(x+1)^4}{2} + C(x+1)^2 \)
C. \( y = (x+1)^4 + C(x+1)^2 \)
D. \( y = \dfrac{(x+1)^3}{3} + C(x+1) \)
Câu 8: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” – 2y’ + 2y = e^x \cos x \).
A. \( y = e^x(C_1\cos x+C_2\sin x) + \dfrac{x}{2}e^x\sin x \)
B. \( y = e^x(C_1\cos x+C_2\sin x) – \dfrac{x}{2}e^x\cos x \)
C. \( y = e^x(C_1\cos x+C_2\sin x) + \dfrac{x}{2}e^x\sin x \)
D. \( y = e^x(C_1\cos x+C_2\sin x) + \dfrac{x}{2}e^x\cos x \)
Câu 9: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” + \omega^2 y = \sin(\omega x) \).
A. \( y_p = A\sin(\omega x) \)
B. \( y_p = A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x) \)
C. \( y_p = x(A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x)) \)
D. \( y_p = Ax\sin(\omega x) \)
Câu 10: curl(F) của trường \( \vec{F}(x,y,z) = \dfrac{1}{r^3}(x,y,z) \) với \( r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \) là:
A. \( \vec{0} \)
B. \( \dfrac{-3}{r^5}(x,y,z) \)
C. \( \dfrac{-1}{r^3}(1,1,1) \)
D. \( \vec{F} \)
Câu 11: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số \( z = \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y} \) với điều kiện \( x+y=2 \).
A. Đạt cực tiểu bằng 2 tại (1,1)
B. Đạt cực tiểu bằng 2 tại (1,1)
C. Đạt cực đại bằng 2 tại (1,1)
D. Không có cực trị
Câu 12: Tính \( I = \iint_D (x^2-y^2) dxdy \), D là miền giới hạn bởi \( y=x, y=-x, x=1 \).
A. 1/3
B. 0
C. 2/3
D. 1/3
Câu 13: Tính tích phân đường \( \int_C \dfrac{dx+dy}{|x|+|y|} \) với C là biên của hình vuông có đỉnh (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1).
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Câu 14: Tính diện tích của phần mặt hyperboloid \( z=xy \) cắt bởi mặt trụ \( x^2+y^2=1 \).
A. \( \dfrac{2\pi}{3}(2\sqrt{2}-1) \)
B. \( \dfrac{2\pi}{3}(2\sqrt{2}-1) \)
C. \( \pi(2\sqrt{2}-1) \)
D. \( \dfrac{\pi}{3}(2\sqrt{2}-1) \)
Câu 15: Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân \( \begin{cases} x’ = 2x-y \\ y’ = x+2y \end{cases} \).
A. \( \vec{x}(t) = e^{2t} \begin{pmatrix} C_1\cos t – C_2\sin t \\ C_1\sin t + C_2\cos t \end{pmatrix} \)
B. \( \vec{x}(t) = e^{2t} \begin{pmatrix} C_1\cos t – C_2\sin t \\ C_1\sin t + C_2\cos t \end{pmatrix} \)
C. \( \vec{x}(t) = e^{2t} \begin{pmatrix} C_1\cos t + C_2\sin t \\ -C_1\sin t + C_2\cos t \end{pmatrix} \)
D. \( \vec{x}(t) = C_1e^{2t}\cos t + C_2e^{2t}\sin t \)
Câu 16: Tìm vi phân cấp 2 của hàm số \( z = \ln(x+y) \).
A. \( d^2z = -\dfrac{dx^2+dy^2}{(x+y)^2} \)
B. \( d^2z = -\dfrac{(dx+dy)^2}{(x+y)^2} \)
C. \( d^2z = \dfrac{dx^2+dy^2}{(x+y)^2} \)
D. \( d^2z = -\dfrac{2dxdy}{(x+y)^2} \)
Câu 17: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt trụ \( x^2+y^2=2x \), mặt phẳng \( z=0 \) và mặt nón \( z=\sqrt{x^2+y^2} \).
A. \( 32/9 \)
B. \( 32/9 \)
C. \( 16/9 \)
D. \( 64/9 \)
Câu 18: Tính tích phân mặt \( \iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S} \), với \( \vec{F}=(xy, yz, zx) \) và S là biên của khối lập phương \( [0,1]^3 \).
A. 3/2
B. 3/2
C. 1
D. 2
Câu 19: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ – \dfrac{y}{x} = x^2 \sin x \).
A. \( y = x(-x\cos x + \sin x + C) \)
B. \( y = x(x\cos x – \sin x + C) \)
C. \( y = x(-x\cos x + \sin x + C) \)
D. \( y = x^2\sin x + Cx \)
Câu 20: Trường \( \vec{F} = \dfrac{(x,y,z)}{x^2+y^2+z^2} \) có phải trường thế không?
A. Có
B. Không
C. Chỉ là trường thế tại gốc tọa độ
D. Không xác định.
Câu 21: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm ẩn \( z=z(x,y) \) xác định bởi \( F(x-az, y-bz)=0 \).
A. \( a \) (Câu này phụ thuộc vào dạng của F)
B. \( -a/b \)
C. \( b/a \)
D. \( a/b \)
Câu 22: Tính tích phân kép \( \iint_D \sqrt{|y-x^2|} dxdy \), D là hình chữ nhật \( [-1,1]\times[0,2] \).
A. \( 4/3+\pi/2 \)
B. \( 4/3+\pi/2 \)
C. \( 8/3+\pi \)
D. \( 2/3+\pi/4 \)
Câu 23: Tính \( \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \) với \( \vec{F} = \dfrac{(-y,x)}{x^2+y^2} \) và C là đường cong bất kỳ từ A(1,0) đến B(0,1) không đi qua gốc tọa độ.
A. \( \pi/2 \)
B. \( \pi \)
C. \( -\pi/2 \)
D. Phụ thuộc đường đi
Câu 24: Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(x,y,z^2) \) qua biên của khối trụ \( x^2+y^2 \le 1, 0 \le z \le 1 \).
A. \( 2\pi \)
B. \( 3\pi \)
C. \( 3\pi \)
D. \( 4\pi \)
Câu 25: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( (x+2)^2y” + (x+2)y’ + y = 0 \).
A. \( y = C_1(x+2) + C_2(x+2)^{-1} \)
B. \( y = (x+2)(C_1+C_2\ln|x+2|) \)
C. \( y = C_1\cos(\ln|x+2|) + C_2\sin(\ln|x+2|) \)
D. \( y = C_1|x+2| + C_2|x+2|^{-1} \)
Câu 26: Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = \int_0^t \sin(\tau)d\tau \).
A. \( \dfrac{1}{s(s^2+1)} \)
B. \( \dfrac{1}{s(s^2+1)} \)
C. \( \dfrac{s}{s^2+1} \)
D. \( \dfrac{1}{s^2+1} \)
Câu 27: Cho \( f(x) = \begin{cases} 0 & -\pi < x < 0 \\ x & 0 \le x < \pi \end{cases} \). Hệ số \( a_0 \) trong khai triển Fourier của f(x) là:
A. \( \pi^2/2 \)
B. \( \pi/2 \)
C. \( \pi^2/4 \)
D. \( \pi/4 \)
Câu 28: Tính \( \oint_C (x^2+y^2)dx + (x-y)dy \) với C là biên của tam giác có đỉnh (0,0), (1,1), (0,1).
A. -2/3
B. -2/3
C. 2/3
D. 0
Câu 29: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y”-y’ = e^x \sin x \).
A. \( y_p=e^x(A\cos x+B\sin x) \)
B. \( y_p=xe^x(A\cos x+B\sin x) \)
C. \( y_p=Ae^x\sin x \)
D. \( y_p=e^x(A+B\sin x) \)
Câu 30: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \arctan(1/s) \).
A. \( \dfrac{\cos t}{t} \)
B. \( \dfrac{\sin t}{t} \)
C. \( t\sin t \)
D. \( t\cos t \)
