Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Đại Học Bách Khoa Hà Nội là bộ đề ôn tập chuyên sâu dành cho sinh viên các khối ngành Kỹ thuật, Công nghệ và Kinh tế tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội (HUST). Đề ôn tập này được biên soạn vào năm 2024 bởi ThS. Nguyễn Văn Quang – giảng viên Bộ môn Toán Ứng Dụng, Khoa Toán – Tin, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Nội dung trắc nghiệm đại học bao gồm các chương trọng điểm của Toán Cao Cấp 2 như chuỗi số, chuỗi Fourier, biến đổi Laplace, hàm biến phức, phương trình đạo hàm riêng và phương trình tích phân. Các câu hỏi được xây dựng theo hình thức trắc nghiệm khách quan, giúp sinh viên rèn luyện kỹ năng giải toán, phân tích và ứng dụng lý thuyết vào các bài toán kỹ thuật thực tiễn.
Trên nền tảng Dethitracnghiem.vn, sinh viên có thể dễ dàng truy cập bộ Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Đại Học Bách Khoa Hà Nội với giao diện trực quan, dễ sử dụng. Hệ thống đề thi được phân chia theo từng chương, kèm theo đáp án chính xác và lời giải chi tiết cho từng câu hỏi. Sinh viên có thể làm bài không giới hạn, lưu đề yêu thích và theo dõi tiến trình học tập thông qua biểu đồ kết quả cá nhân. Đây là công cụ học tập toàn diện, hỗ trợ sinh viên HUST củng cố kiến thức và chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi giữa kỳ và cuối kỳ môn Toán Cao Cấp 2.
Trắc nghiệm Toán cao cấp c2 Đại Học Bách Khoa Hà Nội
Câu 1: Cho hàm số \( z = f(x/y, y/x) \). Tìm biểu thức \( x\dfrac{\partial z}{\partial x} + y\dfrac{\partial z}{\partial y} \).
A. \( z \)
B. \( 2z \)
C. 0
D. 1
Câu 2: Tìm và phân loại điểm dừng của hàm số \( z = x^4+y^4-4xy \).
A. (0,0) là cực tiểu, (1,1) và (-1,-1) là điểm yên ngựa.
B. (0,0) là điểm yên ngựa, (1,1) và (-1,-1) là các điểm cực tiểu.
C. (0,0), (1,1), (-1,-1) đều là điểm cực tiểu.
D. (0,0) là cực đại, (1,1) và (-1,-1) là các điểm cực tiểu.
Câu 3: Tính tích phân kép \( I = \iint_D \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} dxdy \), D là miền vành khăn \( 1 \le x^2+y^2 \le 4 \).
A. \( 2\pi \)
B. \( 3\pi \)
C. \( 2\pi \)
D. \( \pi \)
Câu 4: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid \( z=x^2+y^2 \) và mặt nón \( z=2-\sqrt{x^2+y^2} \).
A. \( 2\pi \)
B. \( 5\pi/6 \)
C. \( \pi \)
D. \( 4\pi/3 \)
Câu 5: Tính tích phân đường loại 2 \( I = \int_C (y^2-2x)dx + 2xydy \), với C là đường cong bất kỳ nối A(1,1) đến B(2,3).
A. 15
B. 15
C. 18
D. Phụ thuộc đường đi
Câu 6: Áp dụng công thức Green để tính \( \oint_C (e^x+y^2)dx + (2xy+e^y)dy \), với C là biên của hình chữ nhật \( [0,2]\times[0,1] \).
A. 2
B. 1
C. 4
D. 0
Câu 7: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Bernoulli \( y’ + \dfrac{y}{x} = x^2y^4 \).
A. \( y^{-3} = -3x^2+Cx^{-3} \)
B. \( y^{-3} = -\dfrac{3}{2}x^2+Cx^{-3} \)
C. \( y^{-3} = \dfrac{3}{2}x^2+Cx^{3} \)
D. \( y^{3} = -\dfrac{3}{2}x^2+Cx^{-3} \)
Câu 8: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” + y = \cos x \).
A. \( y_p = A\cos x \)
B. \( y_p = A\cos x + B\sin x \)
C. \( y_p = x(A\cos x + B\sin x) \)
D. \( y_p = Ax\cos x \)
Câu 9: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân \( \begin{cases} x’ = x-y \\ y’ = x+y \end{cases} \).
A. \( \vec{x}(t) = e^t \begin{pmatrix} C_1\cos t – C_2\sin t \\ C_1\sin t + C_2\cos t \end{pmatrix} \)
B. \( \vec{x}(t) = e^t \begin{pmatrix} C_1\cos t – C_2\sin t \\ C_1\sin t + C_2\cos t \end{pmatrix} \)
C. \( \vec{x}(t) = e^t \begin{pmatrix} C_1\cos t + C_2\sin t \\ -C_1\sin t + C_2\cos t \end{pmatrix} \)
D. \( \vec{x}(t) = C_1e^{t}\cos t + C_2e^{t}\sin t \)
Câu 10: Cho trường vector \( \vec{F} \). Mệnh đề nào sau đây luôn đúng?
A. \( \text{div}(\text{curl } \vec{F}) = 0 \)
B. \( \text{curl}(\text{div } \vec{F}) = \vec{0} \)
C. \( \text{curl}(\text{grad } f) \neq \vec{0} \)
D. \( \text{div}(\text{grad } f) = 0 \)
Câu 11: Tìm cực trị của hàm số \( z = x/a+y/b \) với điều kiện \( x^2+y^2=1 \).
A. Cực đại \( \sqrt{a^2+b^2} \), cực tiểu \( -\sqrt{a^2+b^2} \)
B. Cực đại \( \dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab} \), cực tiểu \( -\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab} \)
C. Cực đại \( ab \), cực tiểu \( -ab \)
D. Không có cực trị.
Câu 12: Tính \( I = \iint_D \dfrac{dxdy}{(x^2+y^2+1)^2} \), D là toàn bộ mặt phẳng \( \mathbb{R}^2 \).
A. \( \pi \)
B. \( \pi/2 \)
C. \( 2\pi \)
D. Vô hạn
Câu 13: Tính tích phân đường \( \int_C \dfrac{-y dx + x dy}{x^2+y^2} \) với C là đường elip \( x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 \) ngược chiều kim đồng hồ.
A. 0
B. \( 2\pi \)
C. \( \pi \)
D. Phụ thuộc a,b
Câu 14: Tính diện tích của phần mặt nón \( z^2=x^2+y^2 \) nằm bên trong mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=2z \).
A. \( \pi \)
B. \( \sqrt{2}\pi \)
C. \( 2\pi \)
D. \( \pi/2 \)
Câu 15: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y^{(4)} – y = 0 \).
A. \( y=C_1e^x+C_2e^{-x}+C_3e^{ix}+C_4e^{-ix} \)
B. \( y=C_1e^x+C_2e^{-x}+C_3\cos x+C_4\sin x \)
C. \( y=(C_1+C_2x)e^x+(C_3+C_4x)e^{-x} \)
D. \( y=e^x(C_1\cos x+C_2\sin x)+e^{-x}(C_3\cos x+C_4\sin x) \)
Câu 16: Tìm vi phân cấp 2 của hàm số \( z = e^{x+y} \).
A. \( d^2z = e^{x+y}(dx^2+dy^2) \)
B. \( d^2z = e^{x+y}(dx+dy)^2 \)
C. \( d^2z = e^{x+y}(dx^2+2dxdy) \)
D. \( d^2z = e^{x+y}dxdy \)
Câu 17: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=4a^2 \) và mặt trụ \( x^2+y^2=a^2 \).
A. \( \dfrac{4\pi a^3}{3}(8-3\sqrt{3}) \)
B. \( \dfrac{4\pi a^3}{3}(8-3\sqrt{3}) \)
C. \( 2\pi a^3(8-3\sqrt{3}) \)
D. \( \dfrac{2\pi a^3}{3}(8-3\sqrt{3}) \)
Câu 18: Tính tích phân mặt \( \iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S} \), với \( \vec{F}=(x^3,y^3,z^3) \) và S là mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=a^2 \).
A. \( \dfrac{12\pi a^4}{5} \)
B. \( \dfrac{12\pi a^5}{5} \)
C. \( \dfrac{4\pi a^5}{5} \)
D. \( 4\pi a^5 \)
Câu 19: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ + y = \dfrac{1}{1+e^{2x}} \).
A. \( y=Ce^{-x}+e^{-x}\arctan(e^x) \)
B. \( y=Ce^{-x}+e^{-x}\arctan(e^x) \)
C. \( y=Ce^{x}+e^{x}\arctan(e^x) \)
D. \( y=Ce^{-x}+\ln(1+e^{2x}) \)
Câu 20: Trường \( \vec{F} = (y^2, z^2, x^2) \) có phải trường thế không?
A. Có
B. Không
C. Chỉ là trường thế khi x=y=z
D. Không xác định.
Câu 21: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm ẩn \( z=z(x,y) \) xác định bởi \( z = x+\arctan\left(\dfrac{y}{z-x}\right) \).
A. \( \dfrac{z-x}{z-x-y} \)
B. \( \dfrac{z-x}{z-x-y} \)
C. \( \dfrac{z-x+y}{z-x-y} \)
D. \( \dfrac{z-x-y}{z-x+y} \)
Câu 22: Tính tích phân kép \( \iint_D [2-x^2-y^2] dxdy \), D là miền \( x^2+y^2 \le 2 \). (Dấu [x] là phần nguyên của x)
A. \( 2\pi(\sqrt{2}-1) \)
B. \( 2\pi(\sqrt{2}-1) \)
C. \( \pi(\sqrt{2}-1) \)
D. \( \pi(3-2\sqrt{2}) \)
Câu 23: Tính \( \int_C (2x-y)dx+(x+3y)dy \) với C là đường cong bất kỳ từ A(0,0) đến B(1,1).
A. 3
B. 2
C. 1
D. Phụ thuộc đường đi
Câu 24: Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(x,y,z) \) qua mặt bên của hình nón \( z=\sqrt{x^2+y^2}, 0 \le z \le 1 \).
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi/3 \)
C. \( 4\pi/3 \)
D. \( \pi/3 \)
Câu 25: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^3y”’ + 3x^2y” – 2xy’ + 2y = 0 \).
A. \( y = C_1x+C_2x^{-1}+C_3x^2 \)
B. \( y = C_1x+C_2x^{-1}+C_3x^2 \)
C. \( y = C_1x+C_2x^{-2}+C_3x \)
D. \( y = C_1x+C_2x^2+C_3x^{-1} \)
Câu 26: Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = \dfrac{\sin t}{t} \).
A. \( \arctan(s) \)
B. \( \arctan(1/s) \)
C. \( \dfrac{1}{s^2+1} \)
D. \( \dfrac{s}{s^2+1} \)
Câu 27: Cho \( f(x) = \begin{cases} \sin x & x \in [0, \pi] \\ 0 & x \in [-\pi, 0) \end{cases} \). Hệ số \( b_1 \) trong khai triển Fourier của f(x) là:
A. 1
B. 1/2
C. 0
D. \( 2/\pi \)
Câu 28: Tính \( \oint_C (x^3-3y)dx + (x+y^3)dy \) với C là biên tam giác có đỉnh (0,0), (1,0), (0,1).
A. 2/3
B. 2
C. 3/2
D. 1
Câu 29: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y”-4y’ + 4y = \dfrac{e^{2x}}{x} \).
A. \( y_p=A\dfrac{e^{2x}}{x} \)
B. \( y_p=(A+B\ln x)e^{2x} \)
C. \( y_p = v_1(x)e^{2x} + v_2(x)xe^{2x} \) (dùng biến thiên hằng số)
D. \( y_p=A x e^{2x} \ln x \)
Câu 30: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{1}{s\sqrt{s+1}} \).
A. \( \text{erf}(\sqrt{t}) \)
B. \( \text{erf}(\sqrt{t}) \)
C. \( e^{-t}\text{erf}(\sqrt{t}) \)
D. \( \dfrac{1}{\sqrt{\pi t}} – \dfrac{e^t}{\sqrt{\pi}}\text{erf}(\sqrt{t}) \)
