Câu 1: Cho hàm số $f(x) = \dfrac{-x^2+3x+2}{2x-2}$.

a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}\setminus\{2\}$. (13)

b) Hàm số đồng biến trên $(-\infty;1)$ và nghịch biến trên $(1;+\infty)$. (14)

c) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là $(1;1)$. (15)

d)

Đồ thị hàm số có dạng là đường cong như hình bên dưới. (16)

Câu 2: Một nhà sản xuất Robot xác định rằng để bán được $x$ đơn vị Robot, giá bán mỗi đơn vị (triệu đồng) phải là $p(x)=1000-x$. Nhà sản xuất cũng xác định rằng tổng chi phí sản xuất $x$ đơn vị được cho bởi $C(x)=3000+20x$. Khi đó

a) Tổng doanh thu $R(x)=x+p(x)$. (17)

b) Tổng lợi nhuận $P(x)=R(x)+C(x)$. (18)

c) Để tối đa hóa lợi nhuận thì công ty phải sản xuất và bán $490$ đơn vị Robot. (19)

d) Giá bán mỗi đơn vị là $510$ (triệu đồng) thì công ty đạt được lợi nhuận tối đa. (20)

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\vec{a}=(1;-1;2), \vec{b}=(3;0;-2)$ và $\vec{c}=(7;-1;-2)$.

a) Tọa độ của vectơ $2\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}=(6;-3;4)$. (21)

b) $|\vec{b}|=1$. (22)

c) Giá trị $\cos(\vec{a};\vec{b}) = \dfrac{-1}{\sqrt{78}}$. (23)

d) Nếu vectơ $\vec{d}$ có độ lớn bằng $1$ và $\vec{a} \cdot \vec{d}=2$ thì khi đó $(\vec{a}+\vec{d})^2=11$. (24)

Câu 4: Khảo sát thời gian tự học của học sinh lớp 12A tại một trường X trong một tuần được thống ở bảng sau:

a) Cỡ mẫu $n=45$. (25)

b) Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với đơn vị của mẫu số liệu. (26)

c) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm trên thuộc nhóm $[9;11)$. (27)

d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm bằng $5{,}2$. (làm tròn kết quả đến phần mười). (28)

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ Câu 1 đến Câu 6.

Câu 1:

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Tính giá trị $f(1)$.

(29)

Câu 2: Trong không gian Oxyz, cho vectơ $\vec{a}=(1;0;1)$, $\vec{b}=(1;1;0)$, $\vec{c}=(-4;2;m)$ và $\vec{d}=2\vec{a}+3\vec{b}$. Tìm $m$ để góc giữa $\vec{c}$ và $\vec{d}$ bằng $90^\circ$.

(30)

Câu 3: Cho hàm số $y=\sqrt{4x-2x^2}$. Gọi $M$ là giá trị lớn nhất và $m$ là giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tính giá trị $M^{24}+m^{2024}$.

(31)

Câu 4: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm $A(0;1;1)$ và $B(2;-3;3)$. Gọi $M$ là điểm nằm trên trục $Oz$ và $M$ cách đều $A$, $B$. Khi đó cao độ của điểm $M$ bằng bao nhiêu?

(32)

Câu 5:

Một con đường cần được xây dựng giữa hai thành phố $X$ và $Y$ nằm ở hai bên đối diện của một con sông có chiều rộng đều $1\,\text{km}$. $X$ cách sông $2\,\text{km}$ và $Y$ cách sông $4\,\text{km}$, khoảng cách giữa hai hình chiếu vuông góc của $X$ và $Y$ trên bờ sông là $X'Y' = 6\,\text{km}$. Một cây cầu sẽ được xây dựng để cho phép giao thông đi qua sông. Vị trí của cây cầu $CD$ cách $XX'$ là $x$ (km). Tìm $x$ để con đường cần được xây dựng giữa hai thành phố $X$ và $Y$ được ngắn nhất.

(33)

Câu 6: Thống kê mật độ dân số (đơn vị: người/km²) của 23 tỉnh, thành phố thuộc vùng Trung du và miền núi phía Bắc, Đồng bằng sông Hồng (không kể thành phố Hà Nội và tỉnh Bắc Ninh) trong năm 2021 (Nguồn: Niên giám Thống kê 2021, NXB Thống kê, 2022).

Tính độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

(34)