Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 1 là bộ câu hỏi trắc nghiệm chuyên sâu thuộc học phần Toán cao cấp 2, môn học tiếp nối sau Toán cao cấp 1 trong chương trình đào tạo các ngành kỹ thuật, công nghệ và kinh tế tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội (HUST). Đề ôn tập này được biên soạn bởi ThS. Lê Hồng Phúc – giảng viên Bộ môn Toán, Khoa Khoa học Cơ bản – vào năm 2024, tập trung vào chương 1 với nội dung chủ yếu là chuỗi số, chuỗi hàm và tiêu chuẩn hội tụ. Các câu hỏi được thiết kế dưới dạng trắc nghiệm khách quan, giúp sinh viên luyện tập tư duy logic và nắm vững nền tảng lý thuyết.
Trên nền tảng dethitracnghiem.vn, sinh viên có thể luyện tập Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 1 thông qua hệ thống câu hỏi phân chia theo từng chủ đề như chuỗi hội tụ – phân kỳ, chuỗi lũy thừa và kiểm tra hội tụ bằng các tiêu chuẩn như D’Alembert, Cauchy, Leibniz. Mỗi câu hỏi đều kèm lời giải chi tiết, phân tích phương pháp và hướng dẫn cách tư duy giúp người học hiểu rõ từng khái niệm. Tính năng lưu kết quả làm bài, phân tích tiến độ học tập và biểu đồ hiệu suất giúp sinh viên ôn luyện hiệu quả và chuẩn bị kỹ càng cho kỳ thi học phần Toán cao cấp 2.
Bài Tập Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Chương 1
Câu 1: Tìm miền xác định D của hàm số \( z = \sqrt{4-x^2-y^2} \).
A. \( D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 > 4 \} \)
B. \( D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 \le 4 \} \)
C. \( D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 < 4 \} \)
D. \( D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2+y^2 = 4 \} \)
Câu 2: Cho hàm số \( f(x,y) = x^2 y – 3y^2 + 2x \). Tính \( f(1,2) \).
A. -8
B. -6
C. 12
D. 2
Câu 3: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm số \( z = x^3 + 3x^2 y – y^4 \).
A. \( 3x^2 + 3x y \)
B. \( 3x^2 + 6x \)
C. \( 3x^2 + 6xy \)
D. \( 3x^2 y – 4y^3 \)
Câu 4: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial y} \) của hàm số \( z = e^{xy} \).
A. \( y e^{xy} \)
B. \( e^{xy} \)
C. \( x e^{xy} \)
D. \( xy e^{xy} \)
Câu 5: Cho hàm số \( z = \ln(x^2+y^2) \). Tính \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) tại điểm (1,1).
A. 1/2
B. 1
C. 2
D. \( \ln 2 \)
Câu 6: Tìm đạo hàm riêng cấp hai \( \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} \) của hàm số \( z = x^4 y^2 \).
A. \( 4x^3 y^2 \)
B. \( 2x^4 \)
C. \( 12x^2 y^2 \)
D. \( 8x^3 y \)
Câu 7: Tìm đạo hàm riêng hỗn hợp \( \dfrac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} \) của hàm số \( z = \sin(x^2 y) \).
A. \( 2xy \cos(x^2 y) \)
B. \( x^2 \cos(x^2 y) \)
C. \( 2x \cos(x^2 y) – 2x^3 y \sin(x^2 y) \)
D. \( 2x \cos(x^2 y) \)
Câu 8: Cho \( f(x,y) = x^2 + y^2 \). Tính \( \dfrac{\partial f}{\partial x}(2,3) \).
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
Câu 9: Vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số \( z = 2x^2y – 3y \) là:
A. \( dz = (4xy)dx + (2x^2)dy \)
B. \( dz = (4x)dx – 3dy \)
C. \( dz = (4xy)dx + (2x^2-3)dy \)
D. \( dz = (2x^2y-3)dx + (2x^2y-3)dy \)
Câu 10: Tính vi phân toàn phần của hàm số \( z = x^2 + 3xy \) tại điểm \( M(1,0) \).
A. \( dz = dx + 3dy \)
B. \( dz = 2dx \)
C. \( dz = 2dx + 3dy \)
D. \( dz = 2dx + dy \)
Câu 11: Tìm vector gradient của hàm số \( f(x,y) = x^3 – 3xy + y^3 \) tại điểm \( M(1,2) \).
A. \( \nabla f(1,2) = (-3, 9) \)
B. \( \nabla f(1,2) = (3, 9) \)
C. \( \nabla f(1,2) = (-3, 9) \)
D. \( \nabla f(1,2) = (0, 0) \)
Câu 12: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm ẩn \( z=z(x,y) \) xác định bởi phương trình \( x^2+y^2+z^2=9 \).
A. \( -\dfrac{y}{z} \)
B. \( -\dfrac{x}{z} \)
C. \( \dfrac{x}{z} \)
D. \( \dfrac{z}{x} \)
Câu 13: Điều kiện cần để điểm \( M_0(x_0, y_0) \) là điểm cực trị của hàm số \( z=f(x,y) \) là:
A. \( f”_{xx}(x_0,y_0) > 0 \)
B. \( f”_{xx}(x_0,y_0) \cdot f”_{yy}(x_0,y_0) – [f”_{xy}(x_0,y_0)]^2 > 0 \)
C. \( \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = 0 \) và \( \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) = 0 \)
D. \( \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \neq 0 \) và \( \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \neq 0 \)
Câu 14: Tìm điểm dừng của hàm số \( z = x^2 + 2y^2 – 2x + 8y + 3 \).
A. \( (-1, 2) \)
B. \( (1, -2) \)
C. \( (2, -1) \)
D. \( (-2, 1) \)
Câu 15: Cho hàm số \( z = f(x,y) \) có điểm dừng \( M_0 \). Đặt \( A=f”_{xx}(M_0), B=f”_{xy}(M_0), C=f”_{yy}(M_0) \). Nếu \( B^2-AC < 0 \) và \( A<0 \) thì:
A. \( M_0 \) là điểm cực đại.
B. \( M_0 \) là điểm cực tiểu.
C. \( M_0 \) không phải là điểm cực trị.
D. Chưa thể kết luận.
Câu 16: Phân loại điểm dừng \( (0,0) \) của hàm số \( z = x^2 + xy + y^2 \).
A. Cực đại địa phương.
B. Cực tiểu địa phương.
C. Điểm yên ngựa.
D. Không phải điểm dừng.
Câu 17: Tìm cực trị của hàm số \( z = -x^2 – y^2 + 4x – 6y \).
A. Đạt cực tiểu tại \( (2,-3) \).
B. Đạt cực đại tại \( (2,-3) \).
C. Không có cực trị.
D. Có điểm yên ngựa tại \( (2,-3) \).
Câu 18: Tìm cực trị của hàm số \( z = x^3+y^3-3xy \).
A. Đạt cực đại tại (0,0) và cực tiểu tại (1,1).
B. Có điểm yên ngựa tại (0,0) và cực tiểu tại (1,1).
C. Đạt cực tiểu tại (0,0) và cực đại tại (1,1).
D. Không có cực trị.
Câu 19: Cho hàm số \( z = \arctan(y/x) \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \( x \dfrac{\partial z}{\partial y} – y \dfrac{\partial z}{\partial x} = 1 \)
B. \( x \dfrac{\partial z}{\partial x} + y \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0 \)
C. \( \dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{\partial z}{\partial y} \)
D. \( \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 1 \)
Câu 20: Tìm \( f”_{yx} \) của hàm số \( f(x,y) = e^y \cos x \).
A. \( e^y \cos x \)
B. \( -e^y \sin x \)
C. \( e^y \sin x \)
D. \( -e^y \cos x \)
Câu 21: Hàm Lagrange để tìm cực trị của hàm \( f(x,y) \) với điều kiện \( g(x,y)=k \) là:
A. \( L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y) \)
B. \( L(x,y,\lambda) = f(x,y) – \lambda (g(x,y)-k) \)
C. \( L(x,y,\lambda) = g(x,y) – \lambda f(x,y) \)
D. \( L(x,y,\lambda) = \lambda (f(x,y) – g(x,y)) \)
Câu 22: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x,y) = x^2+y^2 \) với điều kiện \( x+y=4 \).
A. 4
B. 8
C. 16
D. 2
Câu 23: Tìm cực trị của hàm số \( f(x,y) = x+y \) với điều kiện \( x^2+y^2 = 2 \).
A. Cực đại bằng 1, cực tiểu bằng -1.
B. Cực đại bằng 2, cực tiểu bằng -2.
C. Cực đại bằng \( \sqrt{2} \), cực tiểu bằng \( -\sqrt{2} \).
D. Không có cực trị.
Câu 24: Cho \( z = u^2v \) với \( u = x+y \) và \( v = xy \). Tính \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \).
A. \( 2u v + u^2 y \)
B. \( 2u y + u^2 y \)
C. \( 2(x+y)xy + (x+y)^2 y \)
D. \( 2(x+y)xy \)
Câu 25: Đường mức của hàm số \( z = x^2+y^2 \) là những đường gì?
A. Parabol
B. Hyperbol
C. Đường thẳng
D. Đường tròn
Câu 26: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( z = xy \) trên miền \( D = \{(x,y) | x^2+y^2 \le 1 \} \).
A. 1
B. 1/2
C. 2
D. 1/4
Câu 27: Cho hàm \( z=f(x,y) \) khả vi. Đạo hàm của \( f \) theo hướng vector \( \vec{u}=(1,0) \) là:
A. \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \)
B. \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \)
C. \( \dfrac{\partial f}{\partial x} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \)
D. 0
Câu 28: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial y} \) của hàm ẩn \( z=z(x,y) \) xác định bởi \( x+y+z = e^z \).
A. \( \dfrac{1}{e^z – 1} \)
B. \( -\dfrac{1}{1-e^z} \)
C. \( \dfrac{1}{1-e^z} \)
D. \( -e^{-z} \)
Câu 29: Tìm \( f”_{xx} \) của hàm số \( f(x,y) = y^3 + 2x^2 + \sin(x) \).
A. \( 4 – \sin(x) \)
B. \( 4 – \sin(x) \)
C. \( 4 + \sin(x) \)
D. \( 4 – \cos(x) \)
Câu 30: Cho hàm \( f(x,y) \) có các đạo hàm riêng liên tục. Mệnh đề nào sau đây luôn đúng?
A. \( f”_{xx} = f”_{yy} \)
B. \( f”_{xx} + f”_{yy} = 0 \)
C. \( f”_{xy} = f”_{yx} \)
D. \( f”_{xy} = -f”_{yx} \)
