Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 3 là một phần quan trọng trong học phần Toán Cao Cấp 2, thuộc chương trình đào tạo cử nhân kỹ thuật và công nghệ tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội (HUST). Đề ôn tập này được biên soạn bởi ThS. Nguyễn Văn Quang – giảng viên Bộ môn Toán Ứng Dụng, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội – vào năm 2024. Chương 3 tập trung vào các kiến thức đại học nâng cao như chuỗi Fourier, phương trình vi phân tuyến tính cấp một và cấp hai, bài toán Cauchy, và ứng dụng vào các bài toán thực tiễn. Đề thi được thiết kế dạng trắc nghiệm khách quan nhằm hỗ trợ sinh viên hệ thống hóa lý thuyết và nâng cao khả năng giải quyết bài toán đại học một cách logic và hiệu quả.
Trên nền tảng Dethitracnghiem.vn, sinh viên các trường đại học có thể dễ dàng truy cập bộ Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 3 với cấu trúc rõ ràng, giao diện trực quan và nhiều tiện ích hỗ trợ học tập. Đề được phân loại theo từng chuyên đề, có đáp án chính xác kèm giải thích chi tiết giúp người học hiểu sâu bản chất kiến thức. Ngoài ra, hệ thống còn cung cấp tính năng lưu đề, làm bài nhiều lần và thống kê kết quả học tập qua biểu đồ cá nhân. Đây là công cụ học tập không thể thiếu dành cho sinh viên đại học đang chuẩn bị bước vào các kỳ kiểm tra quan trọng trong môn Toán Cao Cấp.
Bài Tập Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Chương 3
Câu 1: Cho đường cong (C) có phương trình tham số \( x=x(t), y=y(t) \). Vi phân độ dài cung ds được tính bằng công thức nào?
A. \( ds = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} dt \)
B. \( ds = ((x'(t))^2 + (y'(t))^2) dt \)
C. \( ds = (x'(t) + y'(t)) dt \)
D. \( ds = \sqrt{x'(t) + y'(t)} dt \)
Câu 2: Tính tích phân đường loại 1 \( I = \int_C (x+y) ds \), với C là đoạn thẳng nối A(0,0) và B(1,2).
A. \( 3\sqrt{5} \)
B. \( \dfrac{3\sqrt{5}}{2} \)
C. \( \sqrt{5} \)
D. \( \dfrac{5\sqrt{3}}{2} \)
Câu 3: Tính độ dài của đường cong \( y = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} \) từ x = 0 đến x = 3.
A. 14
B. \( \dfrac{14}{3} \)
C. 7
D. \( \dfrac{8}{3} \)
Câu 4: Tích phân đường của trường vector \( \vec{F} = P\vec{i} + Q\vec{j} \) dọc theo đường cong C có thể biểu thị cho:
A. Khối lượng của đường cong C.
B. Công sinh ra bởi trường lực \( \vec{F} \) dọc theo C.
C. Diện tích của miền giới hạn bởi C.
D. Thể tích của vật thể có đáy là C.
Câu 5: Tính tích phân đường loại 2 \( I = \int_C (x-y)dx + (x+y)dy \), với C là đoạn thẳng nối A(0,0) đến B(1,1).
A. 0
B. 1
C. 2
D. -1
Câu 6: Cho tích phân đường \( I = \int_C Pdx+Qdy \). Tích phân này không phụ thuộc đường đi trong miền D nếu:
A. \( \dfrac{\partial Q}{\partial y} = \dfrac{\partial P}{\partial x} \)
B. \( \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y} = 0 \)
C. \( \dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y} \)
D. \( \dfrac{\partial P}{\partial y} + \dfrac{\partial Q}{\partial x} = 0 \)
Câu 7: Biểu thức \( P(x,y)dx + Q(x,y)dy \) là vi phân toàn phần của hàm \( U(x,y) \) nếu:
A. \( \dfrac{\partial Q}{\partial x} = \dfrac{\partial P}{\partial y} \)
B. \( \dfrac{\partial P}{\partial x} = \dfrac{\partial Q}{\partial y} \)
C. \( P = Q \)
D. \( P+Q=0 \)
Câu 8: Cho \( \vec{F}(x,y) = (2xy)\vec{i} + (x^2+y^2)\vec{j} \). Tìm hàm thế vị \( U(x,y) \) của \( \vec{F} \).
A. \( U(x,y) = x^2y^2 + C \)
B. \( U(x,y) = x^2y + y^3 + C \)
C. \( U(x,y) = x^2y + \dfrac{y^3}{3} + C \)
D. \( U(x,y) = xy^2 + \dfrac{x^3}{3} + C \)
Câu 9: Công thức Green liên hệ giữa:
A. Tích phân đường và tích phân mặt.
B. Tích phân kép và tích phân bội ba.
C. Tích phân đường trên đường cong kín và tích phân kép trên miền nó bao quanh.
D. Tích phân mặt và tích phân bội ba.
Câu 10: Áp dụng công thức Green để tính \( I = \oint_C (2y)dx + (5x)dy \), với C là đường tròn \( x^2+y^2=4 \).
A. \( 4\pi \)
B. \( 8\pi \)
C. \( 12\pi \)
D. 0
Câu 11: Dùng công thức Green, tính diện tích của hình tròn \( x^2+y^2 \le R^2 \).
A. \( \oint_C x dy \)
B. \( \dfrac{1}{2} \oint_C x dy – y dx \)
C. \( \oint_C y dx \)
D. \( \oint_C (x+y)dx \)
Câu 12: Tích phân \( \int_{(0,0)}^{(1,1)} (y^2 dx + 2xy dy) \) có giá trị là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. Phụ thuộc đường đi.
Câu 13: Tính \( \int_C (x^2+y^2)dx + 2xy dy \) với C là nửa đường tròn \( x^2+y^2=1 \) từ A(1,0) đến B(-1,0) (phần \( y \ge 0 \)).
A. 0
B. -2/3
C. -2/3
D. 2/3
Câu 14: Cho mặt S có phương trình \( z = g(x,y) \). Yếu tố diện tích mặt dS được tính bằng:
A. \( dS = \sqrt{1+g_x^2} dxdy \)
B. \( dS = \sqrt{1+g_y^2} dxdy \)
C. \( dS = \sqrt{1+g_x^2+g_y^2} dxdy \)
D. \( dS = (1+g_x^2+g_y^2) dxdy \)
Câu 15: Tính diện tích phần mặt nón \( z = \sqrt{x^2+y^2} \) bị cắt bởi mặt trụ \( x^2+y^2=1 \).
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi \)
C. \( \sqrt{2}\pi \)
D. \( 2\sqrt{2}\pi \)
Câu 16: Tính tích phân mặt loại 1 \( I = \iint_S (x^2+y^2) dS \), với S là mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=1 \).
A. \( 4\pi \)
B. \( 2\pi \)
C. \( \dfrac{8\pi}{3} \)
D. \( \dfrac{4\pi}{3} \)
Câu 17: Tích phân mặt loại 2 \( \iint_S \vec{F} \cdot d\vec{S} \) còn được gọi là:
A. Công của trường vector.
B. Thông lượng (flux) của trường vector.
C. Khối lượng của mặt.
D. Diện tích của mặt.
Câu 18: Cho mặt S là phần mặt phẳng \( z=1-x-y \) trong góc phần tám thứ nhất, định hướng lên trên. Vector pháp tuyến đơn vị của S là:
A. \( \vec{n} = (1,1,1) \)
B. \( \vec{n} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) \)
C. \( \vec{n} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1) \)
D. \( \vec{n} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,1) \)
Câu 19: Tính thông lượng của trường \( \vec{F} = (0,0,z) \) qua mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=1 \) hướng ra ngoài.
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi \)
C. \( 4\pi/3 \)
D. \( 4\pi/3 \)
Câu 20: Công thức Stokes là mối liên hệ giữa:
A. Tích phân đường trên một đường cong kín và tích phân mặt trên một mặt có biên là đường cong đó.
B. Tích phân đường và tích phân kép.
C. Tích phân mặt trên một mặt kín và tích phân bội ba trên khối nó bao bọc.
D. Tích phân kép và tích phân bội ba.
Câu 21: Công thức Gauss-Ostrogradsky (Divergence Theorem) là mối liên hệ giữa:
A. Tích phân đường trên một đường cong kín và tích phân mặt trên một mặt có biên là đường cong đó.
B. Tích phân đường và tích phân kép.
C. Tích phân mặt trên một mặt kín và tích phân bội ba trên khối nó bao bọc.
D. Tích phân kép và tích phân bội ba.
Câu 22: div(F) của trường vector \( \vec{F}(x,y,z) = x^2\vec{i} + y^2\vec{j} + z^2\vec{k} \) là:
A. \( 2x+2y \)
B. \( 2x+2y+2z \)
C. 0
D. \( 2x\vec{i}+2y\vec{j}+2z\vec{k} \)
Câu 23: curl(F) của trường vector \( \vec{F}(x,y,z) = y\vec{i} – x\vec{j} + z\vec{k} \) là:
A. \( (1,-1,1) \)
B. \( (0,0,0) \)
C. \( (0,0,-1) \)
D. \( (0,0,-2) \)
Câu 24: Tính \( \oint_C y dx – x dy \) với C là đường tròn \( x^2+y^2=1 \) ngược chiều kim đồng hồ.
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi \)
C. \( – \pi \)
D. \( -2\pi \)
Câu 25: Tính \( I = \int_C (2x-y)ds \) với C là đường tròn \( x^2+y^2=4 \).
A. \( 8\pi \)
B. \( 2\pi \)
C. 0
D. \( 4\pi \)
Câu 26: Cho \( \vec{F}=(y,z,x) \). Tính \( \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \) với C là giao tuyến của mặt trụ \( x^2+y^2=1 \) và mặt phẳng \( z=y \), định hướng dương.
A. \( \pi \)
B. \( -\pi \)
C. \( 2\pi \)
D. \( -2\pi \)
Câu 27: Trường vector nào sau đây là trường thế (conservative)?
A. \( \vec{F}=(y, x+z, y) \)
B. \( \vec{F}=(y, x, 1) \)
C. \( \vec{F}=(x, z, y) \)
D. \( \vec{F}=(y, -x, 0) \)
Câu 28: Tính diện tích mặt paraboloid \( z=x^2+y^2 \) nằm dưới mặt phẳng \( z=1 \).
A. \( \dfrac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1) \)
B. \( \dfrac{\pi}{3}(5\sqrt{5}-1) \)
C. \( \pi(5\sqrt{5}-1) \)
D. \( \dfrac{\pi}{6}(2\sqrt{2}-1) \)
Câu 29: Tính \( I = \int_C (x^2-y^2)dx + 2xy dy \), C là biên của hình vuông \( [0,1]\times[0,1] \) ngược chiều kim đồng hồ.
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Câu 30: Tính thông lượng của trường \( \vec{F} = (x,y,z) \) qua mặt bên của hình trụ \( x^2+y^2=1, 0 \le z \le 1 \).
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi \)
C. \( 3\pi \)
D. 0
