Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 8 là phần tổng hợp kiến thức cuối cùng trong học phần Toán Cao Cấp 2, thuộc chương trình đào tạo đại học tại Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội (HUST). Đề ôn tập này được biên soạn bởi ThS. Nguyễn Văn Quang – giảng viên Bộ môn Toán Ứng Dụng, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội – vào năm 2024. Nội dung chương 8 xoay quanh chuyên đề phương trình tích phân, giải bằng phương pháp giải tích và biến đổi toán học như phương pháp nhân chập, biến đổi Laplace, và ứng dụng trong mô hình kỹ thuật. Các câu hỏi trắc nghiệm đại học giúp sinh viên hệ thống hóa toàn bộ kiến thức đã học, rèn luyện tư duy phân tích và khả năng vận dụng toán học vào bài toán thực tế ở cấp độ đại học.
Nền tảng Dethitracnghiem.vn cung cấp bộ Bài Tập Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Chương 8 với cấu trúc đề rõ ràng, có đáp án và lời giải chi tiết giúp sinh viên đại học dễ dàng luyện tập và nắm vững bản chất từng dạng bài. Giao diện học trực tuyến thân thiện cho phép người dùng làm bài nhiều lần, lưu đề yêu thích và theo dõi quá trình học tập thông qua biểu đồ kết quả cá nhân. Đây là công cụ lý tưởng cho sinh viên trong giai đoạn ôn luyện cuối kỳ, đặc biệt khi cần củng cố kiến thức tổng hợp từ toàn bộ học phần Toán Cao Cấp 2.
Bài Tập Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Chương 8
Câu 1: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm số \( z = y\ln(x^2+y^2) \).
A. \( \dfrac{y}{x^2+y^2} \)
B. \( \dfrac{2xy}{x^2+y^2} \)
C. \( \dfrac{2x}{x^2+y^2} \)
D. \( \ln(x^2+y^2) + \dfrac{2xy}{x^2+y^2} \)
Câu 2: Tìm và phân loại điểm dừng của hàm số \( z = x^3 – 3x + y^2 \).
A. Cực tiểu tại (1,0), Cực đại tại (-1,0)
B. Cực đại tại (1,0), Điểm yên ngựa tại (-1,0)
C. Cực tiểu tại (1,0), Điểm yên ngựa tại (-1,0)
D. Chỉ có điểm cực tiểu tại (1,0)
Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x,y)=4x+2y \) với điều kiện \( x^2+y^2=5 \).
A. 5
B. 10
C. \( 5\sqrt{2} \)
D. 20
Câu 4: Tính tích phân kép \( I = \int_0^1 \int_0^x (2x+y) dy dx \).
A. 1/2
B. 1
C. 5/6
D. 2/3
Câu 5: Đổi thứ tự lấy tích phân của \( I = \int_0^1 \int_{\sqrt{y}}^1 f(x,y) dx dy \).
A. \( \int_0^1 \int_0^x f(x,y) dy dx \)
B. \( \int_0^1 \int_0^{x^2} f(x,y) dy dx \)
C. \( \int_0^1 \int_0^1 f(x,y) dy dx \)
D. \( \int_0^1 \int_x^1 f(x,y) dy dx \)
Câu 6: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt nón \( z=\sqrt{x^2+y^2} \) và mặt phẳng \( z=2 \).
A. \( 8\pi \)
B. \( 4\pi/3 \)
C. \( 16\pi/3 \)
D. \( 8\pi/3 \)
Câu 7: Tính tích phân đường loại 1 \( I = \int_C 3 ds \), với C là đường tròn \( x^2+y^2=4 \).
A. \( 6\pi \)
B. \( 12\pi \)
C. \( 24\pi \)
D. 3
Câu 8: Tính tích phân đường loại 2 \( I = \int_C (2xy) dx + x^2 dy \), với C là đường cong bất kỳ nối A(0,0) đến B(1,3).
A. 0
B. 1
C. 3
D. 9
Câu 9: Áp dụng công thức Green để tính \( \oint_C (x-y)dx + (x+y)dy \), với C là đường tròn \( x^2+y^2=1 \) ngược chiều kim đồng hồ.
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi \)
C. 0
D. \( -\pi \)
Câu 10: Tính diện tích phần mặt paraboloid \( z=x^2+y^2 \) nằm dưới mặt phẳng \( z=1 \).
A. \( \dfrac{\pi}{6}(2\sqrt{2}-1) \)
B. \( \dfrac{\pi}{6}(5\sqrt{5}-1) \)
C. \( \pi(5\sqrt{5}-1) \)
D. \( \dfrac{\pi}{3}(5\sqrt{5}-1) \)
Câu 11: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ + 2xy = x \).
A. \( y = Ce^{x^2} + 1/2 \)
B. \( y = Ce^{-x^2} + 1/2 \)
C. \( y = Ce^{-x^2} – 1/2 \)
D. \( y = C – x^2/2 \)
Câu 12: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” + 4y’ + 3y = 0 \).
A. \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{3x} \)
B. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x} \)
C. \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-3x} \)
D. \( y = e^{-2x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) \)
Câu 13: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” + 2y’ + y = x^2 \).
A. \( y_p = Ax^2+Bx+C \)
B. \( y_p = x(Ax^2+Bx+C) \)
C. \( y_p = (Ax^2+Bx+C)e^{-x} \)
D. \( y_p = Ax^2 \)
Câu 14: Tính tích phân bội ba \( I = \int_0^1 \int_0^x \int_0^y xyz dz dy dx \).
A. 1/48
B. 1/24
C. 1/96
D. 1/12
Câu 15: Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(z,x,y) \) qua mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=1 \) hướng ra ngoài.
A. 0
B. \( 4\pi \)
C. \( 4\pi/3 \)
D. \( \pi \)
Câu 16: div(F) của trường \( \vec{F}(x,y,z) = (e^x\sin y, e^y\sin z, e^z\sin x) \) là:
A. 0
B. \( e^x\sin y + e^y\sin z + e^z\sin x \)
C. \( e^x\cos y + e^y\cos z + e^z\cos x \)
D. \( \cos y + \cos z + \cos x \)
Câu 17: Tìm nghiệm của phương trình \( y” – 4y = 0 \) với \( y(0)=1, y'(0)=2 \).
A. \( y = \cosh(2x) – \sinh(2x) \)
B. \( y = \cos(2x) + \sin(2x) \)
C. \( y = e^{2x} \)
D. \( y = \cosh(2x) + \sinh(2x) \)
Câu 18: Tính thể tích của khối tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng \( x=0, y=0, z=0 \) và \( 2x+y+z=4 \).
A. 16/3
B. 16/3
C. 32/3
D. 8/3
Câu 19: Tính \( \int_C (x-y)ds \) với C là đường cong \( y = 2x \) từ (0,0) đến (1,2).
A. \( -\sqrt{5} \)
B. \( -\sqrt{5}/2 \)
C. \( \sqrt{5} \)
D. 0
Câu 20: Trường vector nào sau đây không phải là trường thế?
A. \( \vec{F}=(-y, x, 0) \)
B. \( \vec{F}=(2x, 2y, 2z) \)
C. \( \vec{F}=(y, x, 1) \)
D. \( \vec{F}=(\cos x, \sin y, e^z) \)
Câu 21: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình \( \begin{cases} x’ = 3x – y \\ y’ = x + y \end{cases} \).
A. \( \vec{x}(t) = C_1 e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + C_2 e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ t \end{pmatrix} \)
B. \( \vec{x}(t) = C_1 e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + C_2 (t e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + e^{2t}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) \)
C. \( \vec{x}(t) = C_1 e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + C_2 \left( t e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \)
D. \( \vec{x}(t) = e^{2t} (C_1\cos t + C_2\sin t) \)
Câu 22: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{1}{s^2-2s+5} \).
A. \( e^t \sin(2t) \)
B. \( \dfrac{1}{2} e^t \sin(2t) \)
C. \( e^t \cos(2t) \)
D. \( \dfrac{1}{2} e^t \cos(2t) \)
Câu 23: Cho \( f(x)=|x| \) trên \( [-\pi, \pi] \). Khai triển Fourier của f(x) chỉ chứa các số hạng:
A. \( \sin(nx) \)
B. \( \cos(nx) \)
C. Cả \( \sin(nx) \) và \( \cos(nx) \)
D. Hằng số
Câu 24: Tính tích phân mặt \( \iint_S (x^2) dS \), với S là hình trụ \( x^2+y^2=1, 0 \le z \le 1 \).
A. \( \pi/2 \)
B. \( \pi \)
C. \( 2\pi \)
D. \( 3\pi/2 \)
Câu 25: Phân loại điểm dừng (0,0) của hàm số \( z = x^4 + y^4 \).
A. Cực đại
B. Cực tiểu
C. Điểm yên ngựa
D. Không phải điểm dừng
Câu 26: Cho \( \vec{F} = (x, y, 0) \). Áp dụng định lý Stokes để tính \( \oint_C \vec{F}\cdot d\vec{r} \) với C là đường tròn \( x^2+y^2=1, z=1 \).
A. 0
B. \( \pi \)
C. \( 2\pi \)
D. \( -\pi \)
Câu 27: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^2y” + xy’ + y = 0 \).
A. \( y = C_1 x + C_2 x^{-1} \)
B. \( y = C_1 + C_2\ln x \)
C. \( y = C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x) \)
D. \( y = x(C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x)) \)
Câu 28: Tính \( \int_C z ds \) với C là đường xoắn ốc \( x=\cos t, y=\sin t, z=t \) từ \( t=0 \) đến \( t=2\pi \).
A. \( 2\sqrt{2}\pi^2 \)
B. \( \sqrt{2}\pi^2 \)
C. \( 2\pi^2 \)
D. \( 4\pi^2 \)
Câu 29: Tìm biến đổi Laplace của hàm số \( f(t) = \begin{cases} 1 & 0 \le t < 2 \\ 0 & t \ge 2 \end{cases} \).
A. \( \dfrac{1 – e^{2s}}{s} \)
B. \( \dfrac{1 – e^{-2s}}{s} \)
C. \( \dfrac{1 + e^{-2s}}{s} \)
D. \( \dfrac{e^{-2s}}{s} \)
Câu 30: Tích phân nào sau đây dùng để tính khối lượng của một sợi dây (C) có hàm mật độ khối lượng là \( \rho(x,y,z) \)?
A. \( \int_C \rho(x,y,z) ds \)
B. \( \int_C \rho(x,y,z) dx \)
C. \( \iint_C \rho(x,y,z) dS \)
D. \( \iiint_V \rho(x,y,z) dV \)
