Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Trường Đại Học Giao Thông Vận Tải TP.HCM là bộ đề ôn tập quan trọng thuộc môn Toán Cao Cấp 2, được giảng dạy trong chương trình đại học tại Trường Đại học Giao thông Vận tải TP.HCM (UTH). Đề ôn tập này được biên soạn bởi ThS. Đặng Thị Ngọc Diễm – giảng viên Bộ môn Toán, Khoa Cơ bản – Trường Đại học Giao thông Vận tải TP.HCM, năm 2024. Nội dung đề thi tập trung vào các chuyên đề trắc nghiệm đại học như chuỗi số, chuỗi Fourier, biến đổi Laplace, hàm biến phức, và phương trình đạo hàm riêng – những kiến thức có tính ứng dụng cao trong ngành kỹ thuật giao thông, công nghệ thông tin và kỹ thuật xây dựng.
Nền tảng Dethitracnghiem.vn cung cấp bộ Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Trường Đại Học Giao Thông Vận Tải TP.HCM với hệ thống câu hỏi trắc nghiệm được phân chia rõ ràng theo từng chương, có đáp án chính xác kèm theo lời giải chi tiết. Sinh viên có thể luyện tập không giới hạn số lần, lưu lại các đề yêu thích và theo dõi tiến độ học tập qua biểu đồ kết quả cá nhân. Đây là công cụ hỗ trợ đắc lực giúp sinh viên UTH chủ động ôn tập, củng cố kiến thức đại học và đạt kết quả cao trong các kỳ thi giữa kỳ, cuối kỳ môn Toán Cao Cấp 2.
Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Trường Đại Học Giao Thông Vận Tải TP.HCM
Câu 1: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm số \( z = x^3 y^2 + \sin(xy) \).
A. \( 3x^2 y^2 + \cos(xy) \)
B. \( 3x^2 y^2 + y\cos(xy) \)
C. \( 2x^3 y + x\cos(xy) \)
D. \( 3x^2 y^2 + \sin(y) \)
Câu 2: Tìm và phân loại điểm dừng của hàm số \( z = x^2 – 2x + y^3 – 3y \).
A. (1,1) là cực tiểu, (1,-1) là cực đại
B. (1,1) là cực tiểu, (1,-1) là điểm yên ngựa
C. (1,1) là điểm yên ngựa, (1,-1) là cực tiểu
D. (1,1) là cực đại, (1,-1) là cực tiểu
Câu 3: Tính tích phân kép \( I = \int_0^\pi \int_0^1 r \sin\theta dr d\theta \).
A. 1/2
B. 2
C. 0
D. 1
Câu 4: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt trụ \( x^2+y^2=1 \), mặt phẳng \( z=0 \) và mặt nón \( z=2-\sqrt{x^2+y^2} \).
A. \( 5\pi/3 \)
B. \( 2\pi \)
C. \( 5\pi/3 \)
D. \( 4\pi/3 \)
Câu 5: Tính tích phân đường \( I = \int_C (x^2+y) ds \), với C là đường thẳng \( y=x+1 \) từ x=0 đến x=1.
A. \( \dfrac{11\sqrt{2}}{6} \)
B. \( \dfrac{5\sqrt{2}}{3} \)
C. \( \dfrac{11\sqrt{2}}{6} \)
D. \( \dfrac{7\sqrt{2}}{6} \)
Câu 6: Cho trường vector \( \vec{F}=(y^2, 2xy) \). Tính \( \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \) với C là biên của hình vuông \( [0,1]\times[0,1] \).
A. 0
B. 1
C. 2
D. -1
Câu 7: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ + \dfrac{2}{x}y = 3 \).
A. \( y = x + \dfrac{C}{x^2} \)
B. \( y = 3x + Cx^2 \)
C. \( y = x + \dfrac{C}{x^2} \)
D. \( y = \dfrac{x}{3} + Cx^2 \)
Câu 8: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” – 2y’ + 10y = 0 \).
A. \( y = e^{-x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) \)
B. \( y = e^{x}(C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)) \)
C. \( y = e^{x}(C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)) \)
D. \( y = C_1 e^x + C_2 e^{10x} \)
Câu 9: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” – 4y = 2e^{2x} \).
A. \( y_p = Ae^{2x} \)
B. \( y_p = Axe^{2x} \)
C. \( y_p = Ax^2e^{2x} \)
D. \( y_p = (A+Bx)e^{2x} \)
Câu 10: curl(F) của trường \( \vec{F}(x,y,z) = (x^2y, y^2z, z^2x) \) là:
A. \( (-y^2, -z^2, -x^2) \)
B. \( (y^2, z^2, x^2) \)
C. \( (-2y, -2z, -2x) \)
D. \( (0,0,0) \)
Câu 11: Tìm cực trị của hàm số \( z = x+y \) với điều kiện \( x^2+y^2=1 \).
A. Cực đại \( \sqrt{2} \), cực tiểu \( -\sqrt{2} \)
B. Cực đại \( \sqrt{2} \), cực tiểu \( -\sqrt{2} \)
C. Cực đại 2, cực tiểu -2
D. Không có cực trị
Câu 12: Tính \( I = \iint_D \dfrac{1}{(x^2+y^2)^{3/2}} dxdy \), D là miền \( 1 \le x^2+y^2 \le 4 \).
A. \( 2\pi \)
B. \( 4\pi \)
C. \( \pi \)
D. \( \pi/2 \)
Câu 13: Tính tích phân đường \( \int_C z dx + x dy + y dz \) với C là giao tuyến của \( x^2+y^2=1 \) và \( z=x \).
A. \( \pi \)
B. \( -\pi \)
C. \( 2\pi \)
D. 0
Câu 14: Tính diện tích của phần mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=4 \) nằm trong mặt trụ \( x^2+y^2=1 \).
A. \( 4\pi(2-\sqrt{3}) \)
B. \( 2\pi(2-\sqrt{3}) \)
C. \( 4\pi(2-\sqrt{3}) \)
D. \( 4\pi \)
Câu 15: Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân \( \begin{cases} x’ = y \\ y’ = x \end{cases} \) với \( x(0)=1, y(0)=1 \).
A. \( x(t)=\cosh t, y(t)=\sinh t \)
B. \( x(t)=e^t, y(t)=e^t \)
C. \( x(t)=\cos t, y(t)=\sin t \)
D. \( x(t)=\sinh t, y(t)=\cosh t \)
Câu 16: Tìm \( f”_{xy}(0,1) \) của hàm số \( f(x,y) = e^{x-y} \).
A. \( e \)
B. \( -e \)
C. \( 1/e \)
D. \( -1/e \)
Câu 17: Tính thể tích khối elipsoid \( \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2} \le 1 \).
A. \( abc \)
B. \( \pi abc \)
C. \( \dfrac{4}{3} abc \)
D. \( \dfrac{4}{3}\pi abc \)
Câu 18: Tính tích phân mặt \( \iint_S \vec{F}\cdot d\vec{S} \), với \( \vec{F}=(x,y,z) \) và S là biên của khối lập phương \( [0,1]^3 \).
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
Câu 19: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y” + y = \sec x \).
A. \( y = C_1\cos x+C_2\sin x + \cos x \ln|\cos x| + x\sin x \)
B. \( y = C_1\cos x+C_2\sin x – \cos x \ln|\cos x| + x\sin x \)
C. \( y = C_1\cos x+C_2\sin x + \cos x \ln|\sec x+\tan x| \)
D. \( y = C_1\cos x+C_2\sin x – \sin x \ln|\cos x| \)
Câu 20: Trường \( \vec{F} = (2x+y, x+2y) \) có phải trường thế không?
A. Có
B. Không
C. Chỉ là trường thế khi x=y
D. Không xác định.
Câu 21: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial y} \) của hàm ẩn \( z=z(x,y) \) xác định bởi \( xyz = \cos(x+y+z) \).
A. \( \dfrac{xz+\sin(x+y+z)}{-xy-\sin(x+y+z)} \)
B. \( \dfrac{xz+\sin(x+y+z)}{-xy+\sin(x+y+z)} \)
C. \( \dfrac{-xz-\sin(x+y+z)}{xy+\sin(x+y+z)} \)
D. \( \dfrac{yz+\sin(x+y+z)}{-xy+\sin(x+y+z)} \)
Câu 22: Tính tích phân kép \( \iint_D |x-y| dxdy \), D là hình vuông \( [0,1]\times[0,1] \).
A. 1/2
B. 1/3
C. 2/3
D. 1
Câu 23: Tính \( \int_C \dfrac{x dx + y dy}{x^2+y^2} \) với C là đường cong bất kỳ từ A(1,0) đến B(e,0).
A. e
B. \( e-1 \)
C. 1
D. 0
Câu 24: Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(y, -x, 1) \) qua nửa mặt cầu \( z=\sqrt{1-x^2-y^2} \) hướng lên trên.
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi \)
C. 0
D. \( -\pi \)
Câu 25: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^2y” – 2xy’ + 2y = 0 \).
A. \( y = C_1 x^{-1} + C_2 x^{-2} \)
B. \( y = C_1 x + C_2 x^2 \)
C. \( y = x(C_1+C_2\ln x) \)
D. \( y = C_1 \cos(2\ln x) + C_2 \sin(2\ln x) \)
Câu 26: Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = \cosh(at) = \dfrac{e^{at}+e^{-at}}{2} \).
A. \( \dfrac{a}{s^2-a^2} \)
B. \( \dfrac{s}{s^2-a^2} \)
C. \( \dfrac{s}{s^2+a^2} \)
D. \( \dfrac{a}{s^2+a^2} \)
Câu 27: Hệ số \( b_n \) trong khai triển Fourier của hàm chẵn \( f(x) \) trên \( [-\pi, \pi] \) bằng:
A. \( \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)dx \)
B. 0
C. \( \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\sin(nx)dx \)
D. 1
Câu 28: Tính \( \oint_C (x^2+y^2)dx + (x^2-y^2)dy \) với C là biên tam giác có đỉnh (0,0), (2,1), (0,1).
A. -4/3
B. -4/3
C. 4/3
D. 2/3
Câu 29: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y”+y = \cot x \).
A. \( y_p=A\cot x \)
B. \( y_p=A\tan x \)
C. \( y_p = v_1(x)\cos x + v_2(x)\sin x \) (dùng biến thiên hằng số)
D. \( y_p=(A+B\ln x)\cot x \)
Câu 30: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{2s-5}{s^2-5s+6} \).
A. \( e^{2t}+e^{3t} \)
B. \( e^{2t}+e^{3t} \)
C. \( -e^{2t}+e^{3t} \)
D. \( e^{2t}-e^{3t} \)
