Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.HCM là bộ câu hỏi ôn tập thuộc học phần Toán Cao Cấp 2, được giảng dạy tại các khoa kỹ thuật, công nghệ và kinh tế của Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM (HCMUTE). Đề ôn tập này do ThS. Lê Thị Thanh Hương – giảng viên Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM – biên soạn vào năm 2024. Nội dung bài trắc nghiệm đại học bao gồm các chuyên đề quan trọng như chuỗi số, chuỗi hàm, biến đổi Laplace, chuỗi Fourier, hàm phức, và phương trình đạo hàm riêng. Mỗi câu hỏi được thiết kế theo định dạng trắc nghiệm khách quan, giúp sinh viên nắm vững kiến thức lý thuyết và áp dụng vào các bài toán thực tế trình độ đại học.
Trên hệ thống Dethitracnghiem.vn, sinh viên có thể dễ dàng tiếp cận bộ Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.HCM với giao diện thân thiện, trực quan. Các câu hỏi được chia theo từng chương, kèm theo đáp án và lời giải chi tiết để hỗ trợ người học tự ôn luyện hiệu quả. Hệ thống còn tích hợp chức năng lưu đề yêu thích, làm bài nhiều lần và theo dõi tiến trình học tập bằng biểu đồ cá nhân. Đây là công cụ học tập toàn diện, hỗ trợ sinh viên HCMUTE và các trường kỹ thuật khác trong việc chuẩn bị kỹ lưỡng cho kỳ thi giữa kỳ và cuối kỳ môn Toán Cao Cấp 2.
Trắc nghiệm Toán cao cấp 2 Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM
Câu 1: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm số \( z = \arctan(y/x) \).
A. \( \dfrac{-y}{x^2} \)
B. \( \dfrac{-y}{x^2+y^2} \)
C. \( \dfrac{x}{x^2+y^2} \)
D. \( \dfrac{y}{x^2+y^2} \)
Câu 2: Tìm và phân loại điểm dừng của hàm số \( z = x^3+y^3-3xy \).
A. Cực đại tại (0,0), Cực tiểu tại (1,1)
B. Cực tiểu tại (0,0), Cực đại tại (1,1)
C. Điểm yên ngựa tại (0,0), Cực tiểu tại (1,1)
D. Chỉ có điểm cực tiểu tại (1,1)
Câu 3: Tính tích phân kép \( I = \int_0^1 \int_x^1 e^{y^2} dy dx \).
A. \( e-1 \)
B. \( e/2 \)
C. \( \dfrac{e-1}{2} \)
D. \( 2e \)
Câu 4: Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi mặt paraboloid \( z=1-x^2-y^2 \) và mặt phẳng \( z=0 \).
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi \)
C. \( \dfrac{\pi}{2} \)
D. \( \dfrac{\pi}{4} \)
Câu 5: Tính tích phân đường \( I = \int_C (x-y)ds \), với C là đường tròn \( x^2+y^2=4 \).
A. \( 8\pi \)
B. 0
C. \( 4\pi \)
D. \( -8\pi \)
Câu 6: Cho trường vector \( \vec{F}=(y, -x) \). Tính \( \oint_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \) với C là đường tròn \( x^2+y^2=1 \) ngược chiều kim đồng hồ.
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi \)
C. \( -2\pi \)
D. 0
Câu 7: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ – (\tan x)y = \sin x \).
A. \( y = \dfrac{x}{\cos x} + \dfrac{C}{\cos x} \)
B. \( y = -\dfrac{x}{\cos x} + \dfrac{C}{\cos x} \)
C. \( y = \dfrac{x}{\cos x} – \tan x + C \) (Câu này phức tạp, chọn đáp án gần đúng nhất hoặc xem lại)
D. \( y = \dfrac{1}{2\cos x} + \dfrac{C}{\cos x} \)
Câu 8: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y” – 4y’ + 5y = 0 \).
A. \( y = e^{2x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x)) \)
B. \( y = e^{-2x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x) \)
C. \( y = e^{2x}(C_1 \cos x + C_2 \sin x) \)
D. \( y = C_1 e^x + C_2 e^{5x} \)
Câu 9: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y” + 4y = \cos(2x) \).
A. \( y_p = A\cos(2x) \)
B. \( y_p = A\cos(2x) + B\sin(2x) \)
C. \( y_p = x(A\cos(2x) + B\sin(2x)) \)
D. \( y_p = Ax\cos(2x) \)
Câu 10: div(F) của trường \( \vec{F}(x,y,z) = (x^2, y^2, z^2) \) là:
A. 0
B. \( 2x+2y \)
C. \( 2x+2y+2z \)
D. \( (2x, 2y, 2z) \)
Câu 11: Tìm vi phân toàn phần của hàm số \( z = x^2 e^y \).
A. \( dz = 2x e^y dx + e^y dy \)
B. \( dz = x^2 e^y dx + 2x e^y dy \)
C. \( dz = 2x e^y dx + x^2 e^y dy \)
D. \( dz = (2x+x^2) e^y dxdy \)
Câu 12: Tính \( I = \iint_D (x^2+y^2) dxdy \), trong đó D là miền \( 1 \le x^2+y^2 \le 4 \).
A. \( 15\pi \)
B. \( 8\pi \)
C. \( \dfrac{15\pi}{2} \)
D. \( \dfrac{7\pi}{2} \)
Câu 13: Tính tích phân đường \( \int_C y^2 dx + x^2 dy \) với C là đoạn thẳng từ (0,0) đến (1,1).
A. 1
B. 1/3
C. 2/3
D. 0
Câu 14: Tính diện tích của phần mặt nón \( z=\sqrt{x^2+y^2} \) nằm bên trong mặt trụ \( x^2+y^2=2x \).
A. \( 2\pi \)
B. \( \sqrt{2}\pi \)
C. \( 2\sqrt{2}\pi \)
D. \( 4\pi \)
Câu 15: Tìm nghiệm của hệ phương trình vi phân \( \begin{cases} x’ = x-2y \\ y’ = x+4y \end{cases} \).
A. \( \vec{x}(t) = C_1e^{2t}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + C_2e^{3t}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
B. \( \vec{x}(t) = C_1e^{2t}\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} + C_2e^{3t}\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
C. \( \vec{x}(t) = C_1e^{-2t}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} + C_2e^{-3t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)
D. \( \vec{x}(t) = C_1e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} + C_2e^{3t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \)
Câu 16: Tìm cực trị của hàm số \( z = xy \) với điều kiện \( x+y=1 \).
A. Đạt cực tiểu tại (1/2, 1/2)
B. Đạt cực đại tại (1/2, 1/2)
C. Không có cực trị
D. Đạt cực đại tại (1, 0)
Câu 17: Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng tọa độ và mặt phẳng \( x/a + y/b + z/c = 1 \) (với a,b,c > 0).
A. \( abc \)
B. \( abc/2 \)
C. \( abc/3 \)
D. \( abc/6 \)
Câu 18: Tính tích phân mặt \( \iint_S zdS \), với S là mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=1 \).
A. 0
B. \( 4\pi \)
C. \( 4\pi/3 \)
D. \( 2\pi \)
Câu 19: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y” + y = \tan x \).
A. \( y=C_1\cos x + C_2\sin x + \cos x \ln|\sec x+\tan x| \)
B. \( y=C_1\cos x + C_2\sin x – \cos x \ln|\sec x+\tan x| \)
C. \( y=C_1\cos x + C_2\sin x + \sin x \ln|\sec x+\tan x| \)
D. \( y=C_1\cos x + C_2\sin x – \sin x \ln|\cos x| \)
Câu 20: curl(F) của trường \( \vec{F}(x,y,z) = (2xy, x^2, 1) \) là:
A. \( (2y, 2x, 0) \)
B. \( (0, 0, 2x-2y) \)
C. \( (0, 0, 0) \)
D. \( 2y+2x \)
Câu 21: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm ẩn \( z=z(x,y) \) xác định bởi \( e^z – xyz = 0 \).
A. \( \dfrac{yz}{e^z-xy} \)
B. \( \dfrac{-yz}{e^z-xy} \)
C. \( \dfrac{yz}{e^z-xy} \)
D. \( \dfrac{xz}{e^z-xy} \)
Câu 22: Tính tích phân kép \( \iint_D \sin(x^2+y^2) dxdy \), D là miền \( 1 \le x^2+y^2 \le 4 \).
A. \( \pi(\cos 1 – \cos 4) \)
B. \( \pi(\cos 1 – \cos 4) \)
C. \( \pi(\sin 4 – \sin 1) \)
D. \( 2\pi(\cos 1 – \cos 4) \)
Câu 23: Tính \( \int_C (2x+y)dx + x dy \) với C là đường cong bất kỳ từ A(1,1) đến B(2,0).
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
Câu 24: Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(x,y,z) \) qua mặt bên của hình nón \( z=\sqrt{x^2+y^2}, 0 \le z \le 1 \).
A. \( \pi \)
B. \( 2\pi/3 \)
C. \( 4\pi/3 \)
D. \( 2\pi/3 \)
Câu 25: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^2y” + 3xy’ + y = 0 \).
A. \( y = C_1 x^{-1} + C_2 x^{-1} \)
B. \( y = C_1 x^{-1} + C_2 x \)
C. \( y = x^{-1}(C_1+C_2\ln x) \)
D. \( y = C_1 \cos(\ln x) + C_2 \sin(\ln x) \)
Câu 26: Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = \sinh(at) = \dfrac{e^{at}-e^{-at}}{2} \).
A. \( \dfrac{s}{s^2-a^2} \)
B. \( \dfrac{a}{s^2-a^2} \)
C. \( \dfrac{s}{s^2+a^2} \)
D. \( \dfrac{a}{s^2+a^2} \)
Câu 27: Cho \( f(x) \) là hàm lẻ trên \( [-\pi, \pi] \). Hệ số \( a_n \) trong khai triển Fourier của \( f(x) \) bằng:
A. \( \dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)dx \)
B. 0
C. \( \dfrac{2}{\pi}\int_0^{\pi} f(x)\cos(nx)dx \)
D. 1
Câu 28: Tính \( \oint_C \dfrac{-y dx + x dy}{x^2+y^2} \) với C là elip \( \dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1 \).
A. 0
B. \( \pi \)
C. \( 2\pi \)
D. \( 4\pi \)
Câu 29: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y”-y’ = 2e^x \).
A. \( y_p = Ae^x \)
B. \( y_p = Axe^x \)
C. \( y_p = Ax^2e^x \)
D. \( y_p = (A+Bx)e^x \)
Câu 30: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \ln\left(\dfrac{s+a}{s+b}\right) \).
A. \( \dfrac{e^{-bt}-e^{-at}}{t} \)
B. \( \dfrac{e^{bt}-e^{at}}{t} \)
C. \( \dfrac{e^{-bt}-e^{-at}}{t} \)
D. \( \dfrac{e^{-at}-e^{-bt}}{t} \)
