Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp C1 Chương 7 là bài kiểm tra thuộc học phần Toán cao cấp, môn học cơ bản và bắt buộc đối với sinh viên các ngành kỹ thuật, công nghệ và kinh tế tại Trường Đại học Công nghiệp Thực phẩm TP.HCM (HUFI). Đề ôn tập này được biên soạn bởi ThS. Trần Quốc Hưng – giảng viên Khoa Khoa học Cơ bản – vào năm 2024, tập trung vào nội dung chương 7 liên quan đến phép biến đổi Laplace. Đề bao gồm các kiến thức về định nghĩa, tính chất, bảng biến đổi Laplace cơ bản, định lý 1 và 2, cũng như ứng dụng Laplace vào giải phương trình vi phân tuyến tính.
Thông qua nền tảng dethitracnghiem.vn, sinh viên có thể ôn luyện Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp C1 Chương 7 với hệ thống câu hỏi bám sát nội dung giảng dạy, được phân chia thành các dạng bài cụ thể từ nhận biết đến vận dụng cao. Mỗi câu hỏi đều có phần lời giải chi tiết và hướng dẫn tư duy giúp sinh viên nắm vững phương pháp giải toán bằng Laplace. Ngoài ra, công cụ lưu trữ tiến độ học tập và phân tích điểm số giúp người học nhận diện rõ các phần còn yếu để có kế hoạch ôn tập phù hợp trước kỳ thi.
Trắc nghiệm Toán cao cấp C1 Chương 7
Câu 1: Tìm miền xác định của hàm số \( z = \sqrt{1-x^2-y^2} \).
A. \( x^2+y^2 > 1 \)
B. \( x^2+y^2 \le 1 \)
C. \( x^2+y^2 < 1 \)
D. \( x^2+y^2 = 1 \)
Câu 2: Cho hàm số \( f(x,y) = x^2 + 2xy – y^3 \). Tính \( f(2,1) \).
A. 8
B. 9
C. 7
D. 6
Câu 3: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm số \( z = x^3 y^2 + 5x – 3y \).
A. \( 3x^2 y^2 \)
B. \( 3x^2 y^2 + 5 \)
C. \( 2x^3 y – 3 \)
D. \( 6xy^2 + 5 \)
Câu 4: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial y} \) của hàm số \( z = e^{xy} \).
A. \( y e^{xy} \)
B. \( e^{xy} \)
C. \( x e^{xy} \)
D. \( xy e^{xy} \)
Câu 5: Cho hàm số \( z = \ln(x^2+y^2) \). Tính \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \).
A. \( \dfrac{1}{x^2+y^2} \)
B. \( \dfrac{2x}{x^2+y^2} \)
C. \( \dfrac{2y}{x^2+y^2} \)
D. \( \dfrac{1}{x} \)
Câu 6: Tìm đạo hàm riêng cấp hai \( \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} \) của hàm số \( z = x^3 + 2y^4 \).
A. \( 6x^2 \)
B. \( 24y^2 \)
C. \( 6x \)
D. 0
Câu 7: Tìm đạo hàm riêng hỗn hợp \( \dfrac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \) của hàm số \( z = x^2 y^3 \).
A. \( 6xy^2 \)
B. \( 3x^2 y^2 \)
C. \( 6xy^2 \)
D. \( 2y^3 \)
Câu 8: Cho \( f(x,y) = \sin(xy) \). Tính \( \dfrac{\partial f}{\partial y} (1, \pi) \).
A. 1
B. 0
C. -1
D. \( \pi \)
Câu 9: Vi phân toàn phần cấp 1 của hàm số \( z = f(x,y) \) được cho bởi công thức nào?
A. \( dz = f’_x(x,y)dx – f’_y(x,y)dy \)
B. \( dz = f’_{xx}dx + f’_{yy}dy \)
C. \( dz = f’_y(x,y)dx + f’_x(x,y)dy \)
D. \( dz = f’_x(x,y)dx + f’_y(x,y)dy \)
Câu 10: Tính vi phân toàn phần của hàm số \( z = 2x^2 + 3y \) tại điểm \( (1,2) \).
A. \( dz = 4dx + 2dy \)
B. \( dz = 2dx + 3dy \)
C. \( dz = 4dx + 3dy \)
D. \( dz = dx + dy \)
Câu 11: Gradient của hàm số \( f(x,y) \) tại điểm \( M_0(x_0,y_0) \) là:
A. Một số thực.
B. Một ma trận.
C. Một hàm số.
D. Một vector.
Câu 12: Tìm vector gradient của hàm số \( f(x,y) = x^2y – y^2x \) tại điểm \( M(1,1) \).
A. \( \nabla f(1,1) = (2, -1) \)
B. \( \nabla f(1,1) = (1, -1) \)
C. \( \nabla f(1,1) = (1, 1) \)
D. \( \nabla f(1,1) = (0, 0) \)
Câu 13: Điều kiện cần để điểm \( (x_0, y_0) \) là điểm cực trị của hàm số \( z=f(x,y) \) là gì?
A. \( f’_x(x_0,y_0) \neq 0 \) và \( f’_y(x_0,y_0) \neq 0 \)
B. \( f”_{xx}(x_0,y_0) > 0 \)
C. \( f’_x(x_0,y_0) = 0 \) và \( f’_y(x_0,y_0) = 0 \)
D. \( f”_{xx} f”_{yy} – (f”_{xy})^2 < 0 \)
Câu 14: Tìm điểm dừng của hàm số \( z = x^2 + y^2 – 2x + 4y + 5 \).
A. \( (-1, 2) \)
B. \( (1, -2) \)
C. \( (2, -1) \)
D. \( (-2, 1) \)
Câu 15: Cho hàm số \( z = f(x,y) \) có điểm dừng \( M_0(x_0, y_0) \). Đặt \( A=f”_{xx}(M_0), B=f”_{xy}(M_0), C=f”_{yy}(M_0) \). Nếu \( B^2-AC > 0 \) thì:
A. \( M_0 \) là điểm cực đại.
B. \( M_0 \) là điểm cực tiểu.
C. \( M_0 \) không phải là điểm cực trị (điểm yên ngựa).
D. Chưa thể kết luận.
Câu 16: Phân loại điểm dừng \( (0,0) \) của hàm số \( z = x^2 – y^2 \).
A. Cực đại địa phương.
B. Cực tiểu địa phương.
C. Điểm yên ngựa.
D. Không phải điểm dừng.
Câu 17: Tìm cực trị của hàm số \( z = x^2 + y^2 + 1 \).
A. Đạt cực đại tại \( (0,0) \).
B. Đạt cực tiểu tại \( (0,0) \).
C. Không có cực trị.
D. Có điểm yên ngựa tại \( (0,0) \).
Câu 18: Tìm cực trị của hàm số \( z = xy – x^2 – y^2 + x + y \).
A. Đạt cực đại tại (1, 1).
B. Đạt cực tiểu tại (1, 1).
C. Có điểm yên ngựa tại (1, 1).
D. Không có điểm dừng.
Câu 19: Cho hàm số \( z = \arctan(y/x) \). Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \( x \dfrac{\partial z}{\partial x} + y \dfrac{\partial z}{\partial y} = 0 \)
B. \( \dfrac{\partial z}{\partial x} = \dfrac{\partial z}{\partial y} \)
C. \( \dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \dfrac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 1 \)
D. \( x \dfrac{\partial z}{\partial y} – y \dfrac{\partial z}{\partial x} = 1 \)
Câu 20: Tìm đạo hàm riêng \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \) của hàm ẩn \( z=z(x,y) \) xác định bởi phương trình \( x^2+y^2+z^2=1 \).
A. \( -\dfrac{y}{z} \)
B. \( -\dfrac{x}{z} \)
C. \( \dfrac{x}{z} \)
D. \( \dfrac{y}{z} \)
Câu 21: Tìm cực trị của hàm số \( f(x,y) = x^3+y^3-3xy \).
A. Đạt cực tiểu tại (0,0) và cực đại tại (1,1).
B. Đạt cực đại tại (0,0) và cực tiểu tại (1,1).
C. Không có cực trị.
D. Có điểm yên ngựa tại (0,0) và cực tiểu tại (1,1).
Câu 22: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( z = 4 – x^2 – y^2 \) trên miền \( D = \{(x,y) | x^2+y^2 \le 4 \} \).
A. 0
B. 2
C. 4
D. 1
Câu 23: Hàm Lagrange để tìm cực trị của hàm \( f(x,y) \) với điều kiện \( g(x,y)=k \) là:
A. \( L(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda g(x,y) \)
B. \( L(x,y,\lambda) = g(x,y) – \lambda f(x,y) \)
C. \( L(x,y,\lambda) = f(x,y) – \lambda (g(x,y)-k) \)
D. \( L(x,y,\lambda) = \lambda f(x,y) – g(x,y) \)
Câu 24: Tìm cực trị của hàm số \( f(x,y) = x+y \) với điều kiện \( x^2+y^2 = 2 \).
A. Cực đại bằng 1, cực tiểu bằng -1.
B. Cực đại bằng 2, cực tiểu bằng -2.
C. Cực đại bằng \( \sqrt{2} \), cực tiểu bằng \( -\sqrt{2} \).
D. Không có cực trị.
Câu 25: Cho \( z = u^2 + v^2 \) với \( u = x\cos y \) và \( v = x\sin y \). Tính \( \dfrac{\partial z}{\partial x} \).
A. \( 2x \cos y \)
B. \( 2x \sin y \)
C. \( 2x \)
D. 0
Câu 26: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( z = x^2+y^2 \) với điều kiện \( x+y=4 \).
A. 4
B. 16
C. 8
D. 2
Câu 27: Cho hàm \( z=f(x,y) \) khả vi. Đạo hàm của \( f \) theo hướng vector đơn vị \( \vec{u}=(a,b) \) là:
A. \( a \cdot f’_y – b \cdot f’_x \)
B. \( a \cdot b + f’_x \cdot f’_y \)
C. \( a \cdot f’_x + b \cdot f’_y \)
D. \( f’_x + f’_y \)
Câu 28: Đường mức của hàm số \( z = x^2+y^2 \) là những đường gì?
A. Parabol
B. Hyperbol
C. Đường thẳng
D. Đường tròn
Câu 29: Tìm \( f”_{yx} \) của hàm số \( f(x,y) = e^x \sin y \).
A. \( e^x \sin y \)
B. \( -e^x \sin y \)
C. \( e^x \cos y \)
D. \( -e^x \cos y \)
Câu 30: Cho hàm \( f(x,y) \) có các đạo hàm riêng liên tục. Mệnh đề nào sau đây luôn đúng?
A. \( f”_{xx} = f”_{yy} \)
B. \( f”_{xx} + f”_{yy} = 0 \)
C. \( f”_{xy} = f”_{yx} \)
D. \( f”_{xy} = -f”_{yx} \)
