Trắc Nghiệm Toán Cao Cấp 2 Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM là bộ đề ôn tập được thiết kế dành cho sinh viên các ngành Toán học, Công nghệ Thông tin, Vật lý và Khoa học Dữ liệu tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia TP.HCM (HCMUS). Đề ôn tập này được biên soạn vào năm 2024 bởi ThS. Đặng Thị Hồng Hạnh – giảng viên Bộ môn Toán Ứng Dụng, Khoa Toán – Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM. Nội dung bao gồm các chương then chốt của Toán Cao Cấp 2 như chuỗi số, chuỗi Fourier, biến đổi Laplace, hàm biến phức và phương trình đạo hàm riêng, với trọng tâm là khả năng áp dụng vào các mô hình khoa học và công nghệ thực tiễn.
Trên nền tảng Dethitracnghiem.vn, sinh viên có thể truy cập và luyện tập bộ Trắc Nghiệm đại học Toán Cao Cấp 2 Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên TP.HCM thông qua giao diện trực quan, dễ sử dụng. Hệ thống câu hỏi được chia theo từng chương học, có đáp án và lời giải chi tiết, giúp sinh viên củng cố kiến thức và luyện tập hiệu quả. Ngoài ra, người học có thể lưu đề yêu thích, làm bài không giới hạn và theo dõi tiến trình học tập qua biểu đồ cá nhân. Đây là công cụ hỗ trợ lý tưởng cho sinh viên HCMUS chuẩn bị vững vàng cho các kỳ thi giữa kỳ và cuối kỳ môn Toán Cao Cấp 2.
Trắc nghiệm Toán cao cấp c2 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM
Câu 1: Cho hàm số \( z = f(x/y) \). Tìm biểu thức \( x\dfrac{\partial z}{\partial x} + y\dfrac{\partial z}{\partial y} \).
A. \( z \)
B. \( 2z \)
C. 0
D. 1
Câu 2: Tìm và phân loại điểm dừng của hàm số \( z = x^4+y^4-4xy \).
A. (0,0) là cực tiểu, (1,1) và (-1,-1) là điểm yên ngựa.
B. (0,0) là điểm yên ngựa, (1,1) và (-1,-1) là các điểm cực tiểu.
C. (0,0), (1,1), (-1,-1) đều là điểm cực tiểu.
D. (0,0) là cực đại, (1,1) và (-1,-1) là các điểm cực tiểu.
Câu 3: Tính tích phân kép \( I = \iint_D (x-y)^2\cos^2(x+y) dxdy \), với D là hình bình hành có đỉnh (0,0), \( (\pi, -\pi) \), \( (2\pi, 0) \), \( (\pi, \pi) \).
A. \( \pi^4/3 \)
B. \( \pi^4/6 \)
C. \( \pi^4/3 \)
D. \( \pi^4/12 \)
Câu 4: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi hai mặt paraboloid \( z=x^2+y^2 \) và \( z=18-x^2-y^2 \).
A. \( 27\pi \)
B. \( 81\pi \)
C. \( 54\pi \)
D. \( 162\pi \)
Câu 5: Tính tích phân đường loại 2 \( I = \int_C (e^x\sin y – y)dx + (e^x\cos y – 1)dy \), với C là đường cong bất kỳ nối A(1,0) đến B(0,\( \pi/2 \)).
A. \( -1-\pi/2 \)
B. \( -1-\pi/2 \)
C. \( 1+\pi/2 \)
D. 0
Câu 6: Áp dụng công thức Green để tính \( \oint_C (x^2y)dx – (xy^2)dy \), với C là đường tròn \( x^2+y^2=a^2 \).
A. \( -\pi a^4/2 \)
B. \( -\pi a^4/2 \)
C. \( \pi a^4/2 \)
D. 0
Câu 7: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân Clairaut \( y = xy’ – e^{y’} \).
A. \( y = Cx – C \)
B. \( y = Cx – e^C \) và nghiệm kỳ dị \( y = x\ln x – x \)
C. \( y = Cx + e^C \)
D. \( y = Cx + \ln C \)
Câu 8: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y”+y = x\sin x \).
A. \( y_p = (Ax+B)\sin x + (Cx+D)\cos x \)
B. \( y_p = x(A\sin x+B\cos x) \)
C. \( y_p = x[(Ax+B)\sin x + (Cx+D)\cos x] \)
D. \( y_p = (Ax^2+Bx)\sin x + (Cx^2+Dx)\cos x \)
Câu 9: Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình vi phân \( \begin{cases} x’ = 2x-y \\ y’ = 5x-2y \end{cases} \).
A. \( \vec{x}(t) = \begin{pmatrix} C_1\cos t + C_2\sin t \\ (2C_1-C_2)\cos t + (C_1+2C_2)\sin t \end{pmatrix} \)
B. \( \vec{x}(t) = \begin{pmatrix} C_1\cos t + C_2\sin t \\ (2C_1+C_2)\cos t + (2C_2-C_1)\sin t \end{pmatrix} \)
C. \( \vec{x}(t) = C_1e^t + C_2e^{-t} \)
D. \( \vec{x}(t) = e^{2t}(C_1\cos t + C_2\sin t) \)
Câu 10: Cho trường vector \( \vec{F} \). Mệnh đề nào sau đây SAI?
A. \( \text{div}(\text{curl } \vec{F}) = 0 \)
B. \( \text{curl}(\text{div } \vec{F}) = \vec{0} \)
C. \( \text{curl}(\text{grad } f) = \vec{0} \)
D. \( \text{div}(\text{grad } f) = \nabla^2 f \)
Câu 11: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số \( z = xyz \) với điều kiện \( x+y+z=a, x>0, y>0, z>0 \).
A. Đạt cực đại tại \( x=y=z=a/3 \)
B. Đạt cực đại tại \( x=y=z=a/3 \)
C. Đạt cực tiểu tại \( x=y=z=a/3 \)
D. Không có cực trị
Câu 12: Tính \( I = \iint_D |x^2+y^2-1| dxdy \), D là hình tròn \( x^2+y^2 \le 4 \).
A. \( 17\pi/2 \)
B. \( 17\pi/2 \)
C. \( 15\pi/2 \)
D. \( 8\pi \)
Câu 13: Tính tích phân đường \( \int_C \dfrac{-y dx + x dy}{x^2+y^2} \) với C là biên của hình vuông có đỉnh (1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1).
A. \( 2\pi \)
B. \( -2\pi \)
C. 0
D. 4
Câu 14: Tính diện tích của phần mặt xuyến (torus) tạo bởi quay đường tròn \( (x-R)^2+z^2=r^2 \) (R>r) quanh trục Oz.
A. \( 2\pi^2 Rr \)
B. \( 4\pi^2 Rr \)
C. \( \pi^2 Rr \)
D. \( 4\pi Rr \)
Câu 15: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình \( y^{(4)} + 2y” + y = 0 \).
A. \( y=(C_1+C_2x)\cos x + (C_3+C_4x)\sin x \)
B. \( y=(C_1+C_2x)\cos x + (C_3+C_4x)\sin x \)
C. \( y=C_1\cos x+C_2\sin x+C_3x\cos x+C_4x\sin x \)
D. \( y=(C_1\cos x+C_2\sin x) + (C_3\cos x+C_4\sin x)x \)
Câu 16: Tìm khai triển Taylor của hàm số \( z = e^{x+y} \) tại (1,-1) đến cấp 2.
A. \( 1 + (x-1)+(y+1) + \dfrac{1}{2}((x-1)^2+(y+1)^2) \)
B. \( 1 + (x-1)+(y+1) + \dfrac{1}{2}((x-1)+(y+1))^2 \)
C. \( e + e(x-1)+e(y+1) + \dfrac{e}{2}((x-1)+(y+1))^2 \)
D. \( 1 + (x-1)+(y+1) + (x-1)(y+1) \)
Câu 17: Tính thể tích vật thể giới hạn bởi mặt trụ \( (x^2+y^2)^2=2xy \) và mặt phẳng \( z=0, z=x+y \).
A. 1/2
B. 1
C. 1/2
D. 2/3
Câu 18: Tính tích phân mặt \( \iint_S \dfrac{dS}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \), với S là mặt cầu \( x^2+y^2+z^2=a^2 \).
A. \( 4\pi a^2 \)
B. \( 4\pi a \)
C. \( 2\pi a \)
D. \( 4\pi \)
Câu 19: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân \( y’ = \dfrac{y}{x+\sqrt{xy}} \).
A. \( 2\sqrt{y/x} = \ln|x|+C \)
B. \( \sqrt{x/y} = \ln|x|+C \)
C. \( -2\sqrt{x/y} = \ln|x|+C \)
D. \( 2\sqrt{x/y} = \ln|x|+C \)
Câu 20: Trường \( \vec{F} = f(r)\vec{r} \) với \( \vec{r}=(x,y,z), r=|\vec{r}| \) là trường thế khi nào?
A. Khi f(r) là hàm bất kỳ.
B. Luôn là trường thế.
C. Khi f(r) là hằng số.
D. Không bao giờ là trường thế.
Câu 21: Tìm đạo hàm \( y'(x) \) tại \( t=1 \) của hàm số cho bởi phương trình tham số \( x=t^2, y=t^3+t \).
A. 1
B. 2
C. 3/2
D. 4
Câu 22: Tính tích phân kép \( \iint_D \sqrt{x^2+y^2} dxdy \), D là miền giới hạn bởi \( x^2+y^2=2x \).
A. \( 32/9 \)
B. \( 32/9 \)
C. \( 16/9 \)
D. \( 64/9 \)
Câu 23: Tính \( \int_C \dfrac{e^x(x\sin y+2\cos y)dx-e^x(2\sin y-x\cos y)dy}{x^2+4} \) với C là đường cong bất kỳ từ A(0,0) đến B(1,\( \pi \)).
A. 0
B. 0
C. \( -e/5 \)
D. \( e/5 \)
Câu 24: Tính thông lượng của trường \( \vec{F}=(x,y,z) \) qua mặt bên của hình trụ \( x^2+y^2=a^2, 0 \le z \le h \).
A. \( 2\pi a^2 h \)
B. \( 2\pi a^2 h \)
C. \( \pi a^2 h \)
D. \( 2\pi a h \)
Câu 25: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình Euler-Cauchy \( x^2y” + 3xy’ + y = \dfrac{1}{x} \).
A. \( y = x^{-1}(C_1+C_2\ln x) + \dfrac{(\ln x)^2}{2x} \)
B. \( y = x^{-1}(C_1+C_2\ln x) + \dfrac{(\ln x)^2}{2x} \)
C. \( y = x^{-1}(C_1+C_2\ln x) + \dfrac{\ln x}{2x} \)
D. \( y = C_1x^{-1}+C_2x^{-1}\ln x + \dfrac{(\ln x)^3}{6x} \)
Câu 26: Tìm biến đổi Laplace của \( f(t) = \dfrac{1-e^{-t}}{t} \).
A. \( \ln(s+1) – \ln(s) \)
B. \( \ln(s+1) – \ln(s) \)
C. \( \ln\left(\dfrac{s}{s+1}\right) \)
D. \( \ln(s(s+1)) \)
Câu 27: Cho \( f(x) \) là hàm tuần hoàn chu kỳ \( 2\pi \). Tích phân \( \int_0^{2\pi} f(x) \sin(nx) dx \) dùng để tính hệ số Fourier nào?
A. \( a_n \)
B. \( b_n \)
C. \( a_0 \)
D. \( a_n/2 \)
Câu 28: Tính \( \oint_C (e^x-y^3)dx + (e^y+x^3)dy \) với C là đường tròn \( x^2+y^2=1 \).
A. \( 3\pi/2 \)
B. \( 3\pi/2 \)
C. \( 3\pi/4 \)
D. \( 3\pi \)
Câu 29: Tìm dạng nghiệm riêng của phương trình \( y^{(4)}-y = e^x \).
A. \( y_p=Ae^x \)
B. \( y_p=Axe^x \)
C. \( y_p=Ax^2e^x \)
D. \( y_p=Ax^3e^x \)
Câu 30: Tìm biến đổi Laplace ngược của \( F(s) = \dfrac{1}{(s^2+1)^2} \).
A. \( \dfrac{1}{2}(\sin t + t\cos t) \)
B. \( \dfrac{1}{2}(\sin t – t\cos t) \)
C. \( \sin t – t\cos t \)
D. \( \sin t + t\cos t \)
