» Đề Thi Trắc Nghiệm

Bạn đã biết cách tính số trung bình, nhưng làm sao để biết dữ liệu đang phân tán hay tập trung? Bài viết này của Đề Thi Trắc Nghiệm sẽ giải mã chi tiết Chương III Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu ghép nhóm – Bài 1: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị, giúp bạn làm chủ thống kê mô tả trong chương trình Toán 12 mới.

⭐ Nội Dung Chính Của Bài Viết:

Hệ thống hóa công thức tính Khoảng biến thiên và Tứ phân vị ($Q_1, Q_2, Q_3$) cho mẫu số liệu ghép nhóm.
Hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo.
Cảnh báo các bẫy sai lầm khi xác định nhóm chứa tứ phân vị.
Bộ bài tập tự luyện độc quyền theo cấu trúc thi tốt nghiệp THPT 2025 (Đúng/Sai, Trả lời ngắn).

1. Toàn cảnh Lý thuyết trọng tâm: Từ bản chất đến công thức

1.1. Giải mã bản chất: Tại sao số trung bình là chưa đủ?

Hãy tưởng tượng hai lớp học đều có điểm trung bình môn Toán là 7.0. Lớp A toàn bộ học sinh đều được 7 điểm. Lớp B một nửa được 4 điểm, một nửa được 10 điểm. Rõ ràng, chất lượng học tập của hai lớp rất khác nhau dù số trung bình giống hệt.

Đó là lý do chúng ta cần các số đo mức độ phân tán. Khoảng biến thiên cho ta biết độ rộng toàn bộ dữ liệu, còn Khoảng tứ phân vị cho ta biết độ trải rộng của 50% dữ liệu ở chính giữa (loại bỏ các giá trị ngoại lệ quá lớn hoặc quá nhỏ).

1.2. Hệ thống hóa Định lý và Công thức cốt lõi

Dưới đây là bảng tổng hợp các công thức quan trọng nhất bạn cần ghi nhớ để xử lý mẫu số liệu ghép nhóm:

Đại lượng	Công thức & Cách xác định	Ý nghĩa
Khoảng biến thiên (Range – R)	$ R = a_k – a_1 $ (Đầu mút phải nhóm cuối – Đầu mút trái nhóm đầu)	Đo độ phân tán của toàn bộ dữ liệu. Dễ tính nhưng rất nhạy cảm với giá trị ngoại lệ.
Tứ phân vị thứ $r$ ($Q_r$)	$ Q_r = u_m + \frac{\frac{rn}{4} – C}{n_m}(u_{m+1} – u_m) $ Với $r \in \{1, 2, 3\}$. $ [u_m; u_{m+1}) $: Nhóm chứa $Q_r$. $ n_m $: Tần số nhóm chứa $Q_r$. $ C $: Tần số tích lũy trước nhóm đó.	Chia mẫu số liệu thành 4 phần bằng nhau. $Q_2$ chính là Trung vị ($M_e$).
Khoảng tứ phân vị (Interquartile Range – $\Delta_Q$)	$ \Delta_Q = Q_3 – Q_1 $	Đo độ phân tán của 50% số liệu ở giữa. Ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ.

1.3. Sơ đồ tư duy độc quyền

Để học bài này hiệu quả, hãy hình dung sơ đồ tư duy sau:

Trung tâm: Số đặc trưng đo độ phân tán (Ghép nhóm).
- Nhánh 1: Khoảng biến thiên (R) -> Dễ tính -> Lấy Max – Min của biên.
- Nhánh 2: Tứ phân vị (Q) -> Quan trọng nhất.
  - Bước 1: Tính cỡ mẫu $n$.
  - Bước 2: Xác định vị trí $ \frac{n}{4}, \frac{n}{2}, \frac{3n}{4} $.
  - Bước 3: Xác định nhóm chứa $Q_1, Q_2, Q_3$.
  - Bước 4: Áp dụng công thức nội suy tuyến tính.
- Nhánh 3: Khoảng tứ phân vị ($\Delta_Q$) -> $ Q_3 – Q_1 $ -> Dùng để tìm giá trị ngoại lệ.

Bạn muốn tìm hiểu kỹ hơn về các khái niệm nền tảng?
Đọc thêm bài viết về Tìm GTLN GTNN bằng máy tính cầm tay để bổ trợ kỹ năng tính toán.

2. Phân loại và phương pháp giải cho từng dạng bài tập

2.1. Dạng 1: Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm

Đây là dạng bài nhận biết, thường xuất hiện trong các câu hỏi trắc nghiệm dễ.

Phương pháp giải 3 bước:

Bước 1: Xác định nhóm đầu tiên chứa dữ liệu: $[u_1; u_2)$. Lấy đầu mút trái $u_1$.
Bước 2: Xác định nhóm cuối cùng chứa dữ liệu: $[u_k; u_{k+1})$. Lấy đầu mút phải $u_{k+1}$.
Bước 3: Tính hiệu $R = u_{k+1} – u_1$.

2.2. Dạng 2: Tính các Tứ phân vị và Khoảng tứ phân vị (Vận dụng)

Đây là trọng tâm của bài học và thường gây khó khăn cho học sinh ở bước xác định nhóm.

Ví dụ mẫu: Cho bảng tần số ghép nhóm về thời gian hoàn thành bài kiểm tra (phút) của 40 học sinh:

Thời gian	[30; 40)	[40; 50)	[50; 60)	[60; 70)
Số HS	4	10	16	10

Hướng dẫn giải chi tiết:

Tính cỡ mẫu: $n = 4 + 10 + 16 + 10 = 40$.
Tìm $Q_1$:
- Vị trí: $\frac{n}{4} = \frac{40}{4} = 10$.
- Tần số tích lũy: Nhóm 1 có 4 (chưa tới 10), Nhóm 1+2 có $4+10=14$ (vượt qua 10). Vậy $Q_1$ thuộc nhóm $[40; 50)$.
- Áp dụng công thức: $Q_1 = 40 + \frac{10 – 4}{10}(50 – 40) = 40 + \frac{6}{10}.10 = 46$.
Tìm $Q_3$:
- Vị trí: $\frac{3n}{4} = \frac{120}{4} = 30$.
- Tần số tích lũy: Nhóm 1+2+3 có $4+10+16=30$. Vậy $Q_3$ là giá trị kết thúc của nhóm $[50; 60)$ hoặc bắt đầu tính toán ở nhóm này. Thực tế theo công thức, $Q_3$ thuộc nhóm $[50; 60)$.
- Áp dụng công thức: $Q_3 = 50 + \frac{30 – (4+10)}{16}(60 – 50) = 50 + \frac{16}{16}.10 = 60$.
Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 – Q_1 = 60 – 46 = 14$.

3. Hướng dẫn giải 2 bài tập SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Giải Bài 1 Trang 73 – SGK Toán 12 Tập 1 (Chân trời sáng tạo)

Đề bài: Bảng sau thống kê tổng lượng mưa (đơn vị: mm) đo được vào tháng 7 từ năm 2002 đến 2021 tại một trạm quan trắc đặt ở Cà Mau.
(Dữ liệu chi tiết xem trong sách giáo khoa).
a) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Hãy chia mẫu số liệu trên thành 4 nhóm với nhóm đầu tiên là $[140; 240)$ và lập bảng tần số ghép nhóm.
c) Hãy tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và so sánh với kết quả tương ứng thu được ở câu a).

Phân tích & Chiến lược giải:

Bài toán yêu cầu chúng ta so sánh giữa số liệu gốc (không ghép nhóm) và số liệu sau khi đã ghép nhóm. Mục tiêu là để thấy rằng việc ghép nhóm làm mất đi một phần thông tin chi tiết nhưng giúp ta có cái nhìn tổng quan nhanh hơn. Với câu a, ta cần sắp xếp dữ liệu tăng dần. Với câu b, ta cần đếm tần số cẩn thận. Với câu c, áp dụng công thức đã học.

Lời giải chi tiết:

a) Với mẫu số liệu gốc (chưa ghép nhóm):
Sắp xếp 20 số liệu theo thứ tự không giảm (Min đến Max):
147; 187,1; 200,7; 242,2; 251,4; 258,4; 288,5; 298,1; 305; 332; 341,4; 388,6; 400; 413,5; 413,5; 421; 432,2; 475; 520; 522,9.
– Khoảng biến thiên: $R = 522,9 – 147 = 375,9$ (mm).
– Tứ phân vị: $n=20$.
$Q_1$ là trung bình cộng của số thứ 5 và 6: $Q_1 = \frac{251,4 + 258,4}{2} = 254,9$.
$Q_3$ là trung bình cộng của số thứ 15 và 16: $Q_3 = \frac{413,5 + 421}{2} = 417,25$.
Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 – Q_1 = 417,25 – 254,9 = 162,35$.

b) Lập bảng tần số ghép nhóm:
Các nhóm độ dài 100: $[140; 240), [240; 340), [340; 440), [440; 540)$.
– Nhóm 1 $[140; 240)$: Có 147; 187,1; 200,7 $\rightarrow$ Tần số: 3.
– Nhóm 2 $[240; 340)$: Có 242,2; … ; 332 $\rightarrow$ Tần số: 7.
– Nhóm 3 $[340; 440)$: Có 341,4; … ; 432,2 $\rightarrow$ Tần số: 7.
– Nhóm 4 $[440; 540)$: Có 475; 520; 522,9 $\rightarrow$ Tần số: 3.
Bảng tần số:

Lượng mưa	[140; 240)	[240; 340)	[340; 440)	[440; 540)
Số năm	3	7	7	3

c) Tính toán trên mẫu ghép nhóm:
– Khoảng biến thiên: $R’ = 540 – 140 = 400$ (Lớn hơn R gốc).
– $Q_1$: $n=20 \rightarrow n/4 = 5$. Nhóm chứa $Q_1$ là nhóm 2 $[240; 340)$ (tần số tích lũy nhóm 1 là 3 < 5).
$Q_1 = 240 + \frac{5-3}{7}(340-240) = 240 + \frac{200}{7} \approx 268,57$.
– $Q_3$: $3n/4 = 15$. Nhóm chứa $Q_3$ là nhóm 3 $[340; 440)$ (tần số tích lũy nhóm 2 là 10 < 15).
$Q_3 = 340 + \frac{15-10}{7}(440-340) = 340 + \frac{500}{7} \approx 411,43$.
– Khoảng tứ phân vị: $\Delta’_Q = 411,43 – 268,57 = 142,86$.
Nhận xét: Giá trị xấp xỉ có sự chênh lệch so với số liệu gốc nhưng phản ánh được xu hướng chung.

Giải Bài 3 Trang 74 – SGK Toán 12 Tập 1

Đề bài: Kết quả đo chiều cao của 100 cây keo 3 năm tuổi tại một nông trường được cho ở bảng sau… a) Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị. b) Cây cao 8,4m có phải giá trị ngoại lệ không?

Lời giải chi tiết:
a) Khoảng biến thiên $R = 9,4 – 8,4 = 1,0$ m.
Tính toán tứ phân vị (Cỡ mẫu $n=100$):
– $Q_1$: Vị trí 25. Nhóm chứa: $[8,8; 9,0)$ (Tần số tích lũy trước đó là $5+12=17 < 25$).
$Q_1 = 8,8 + \frac{25-17}{25}(9,0-8,8) = 8,864$.
– $Q_3$: Vị trí 75. Nhóm chứa: $[9,0; 9,2)$ (Tần số tích lũy trước đó là $17+25=42 < 75$).
$Q_3 = 9,0 + \frac{75-42}{44}(9,2-9,0) = 9,15$.
– Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = 9,15 – 8,864 = 0,286$.

b) Kiểm tra giá trị ngoại lệ:
Ngưỡng dưới: $Q_1 – 1,5\Delta_Q = 8,864 – 1,5(0,286) = 8,435$.
Vì cây cao $8,4$ m < $8,435$ nên chiều cao 8,4m LÀ giá trị ngoại lệ.

Luyện tập thêm các bài toán thực tế về thống kê!

Phần thống kê trong Toán 12 rất dễ kiếm điểm nếu bạn nắm chắc quy trình tính toán. Hãy thử sức với Ngân hàng đề thi Toán 12 Chương III của chúng tôi.

Luyện Tập Ngay

4. Phân tích các lỗi sai kinh điển và mẹo tránh bẫy

⚠ Cảnh Báo Lỗi Sai Kinh Điển

Nhầm lẫn giữa $n_m$ và $C$: Trong công thức tứ phân vị, $n_m$ là tần số của chính nhóm đó, còn $C$ là tần số tích lũy của các nhóm đứng trước. Rất nhiều bạn đảo ngược hai giá trị này.
Xác định sai nhóm chứa tứ phân vị: Khi vị trí cần tìm là 25 (ví dụ $n/4 = 25$), và tần số tích lũy của nhóm trước đúng bằng 25, các bạn thường phân vân. Quy tắc là: Nếu tích lũy nhóm trước < vị trí cần tìm $\le$ tích lũy nhóm hiện tại, thì chọn nhóm hiện tại.
Sai sót khi tính độ dài nhóm: Hiệu $u_{m+1} – u_m$ phải tính chính xác. Đừng nhìn nhầm sang nhóm khác nếu độ dài các nhóm không đều nhau.

5. Kết nối Toán học với cuộc sống: Ứng dụng thực tiễn của bài học

Kiến thức về khoảng biến thiên và tứ phân vị không chỉ nằm trên giấy. Trong thực tế:

Kinh tế: Các nhà phân tích dùng khoảng tứ phân vị để loại bỏ ảnh hưởng của các tỷ phú hoặc người siêu nghèo khi đánh giá mức thu nhập trung bình của tầng lớp trung lưu (50% dân số ở giữa).
Giáo dục: Khi so sánh độ đồng đều về điểm số giữa hai lớp, giáo viên dùng khoảng biến thiên. Lớp nào có khoảng biến thiên nhỏ hơn thường có trình độ học sinh đồng đều hơn.
Khí tượng: Dùng để đánh giá sự khắc nghiệt của thời tiết (chênh lệch nhiệt độ cao nhất và thấp nhất trong ngày/năm).

Để hiểu rõ hơn về ứng dụng của toán học trong các mô hình phức tạp hơn, bạn có thể tham khảo bài viết về Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm.

6. Sân chơi Trí tuệ: Bài tập tự luyện bám sát cấu trúc thi 2025

Thử sức ngay với các câu hỏi được biên soạn theo cấu trúc đề minh họa mới nhất của Bộ GD&ĐT:

Câu 1 (Trắc nghiệm): Cho mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục (phút) của một nhóm người: $[0; 20), [20; 40), [40; 60), [60; 80)$. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu này là bao nhiêu?

A. 20
B. 40
C. 60
D. 80

Câu 2 (Đúng/Sai): Xét bảng số liệu về lương của nhân viên công ty X (triệu đồng):
Nhóm lương: [5; 10), [10; 15), [15; 20), [20; 25). Tần số tương ứng: 15, 20, 10, 5.
Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Cỡ mẫu là $n=50$.
b) Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất $Q_1$ là $[10; 15)$.
c) Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ lớn hơn 10 triệu đồng.
d) Giá trị đại diện của nhóm đầu tiên là 7.5.

Câu 3 (Trả lời ngắn): Cho mẫu số liệu ghép nhóm có $Q_1 = 120$ và $Q_3 = 180$. Một giá trị $x$ được coi là ngoại lệ lớn nếu $x > Q_3 + 1,5\Delta_Q$. Hãy tìm ngưỡng xác định giá trị ngoại lệ lớn này.

Đáp án gợi ý:
Câu 1: D (80 – 0 = 80).
Câu 2: a) Đúng; b) Sai (Vì 50/4 = 12.5 < 15 nên thuộc nhóm [5; 10)); c) Sai; d) Đúng.
Câu 3: 270 (Vì $\Delta_Q = 60$, ngưỡng = $180 + 1,5.60 = 270$).

Cần lời giải chi tiết và nhiều bài tập hơn?

Tại Đề Thi Trắc Nghiệm, chúng tôi có hàng ngàn câu hỏi phân loại theo từng mức độ nhận biết – thông hiểu – vận dụng – vận dụng cao, giúp bạn tự tin chinh phục kỳ thi.

Khám Phá Ngay

Lưu ý: Mọi thông tin và tài liệu trong bài viết chỉ mang tính chất tham khảo. Các bạn học sinh cần theo dõi và cập nhật các thông báo chính thức từ Bộ Giáo dục và Đào tạo để có thông tin chính xác nhất.