Đề ôn tập Giữa kì 1 Toán 9 2026 2027 – Đề 2

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Trong các phương trình sau phương trình nào không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. $2x-3y=5$.
B. $0x+2y=4$.
C. $2x-0y=3$.
D. $0x-0y=6$.
Đáp án: D
Lời giải: Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là $ax+by=c$, trong đó các hệ số $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$.
Ở phương trình $0x-0y=6$, cả hai hệ số của ẩn đều bằng $0$ nên đây không phải là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Câu 2. Hệ phương trình nào dưới đây là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. $\begin{cases} 2x+3y^2=1 \\ -3x=18 \end{cases}$
B. $\begin{cases} 0,5x-0,2y=-0,1 \\ 0x+0y=-0,4 \end{cases}$
C. $\begin{cases} -4x+7y=-10 \\ 3x+8y=-19 \end{cases}$
D. $\begin{cases} x+3y=2 \\ 31x^2+5y^2=-1 \end{cases}$
Đáp án: C
Lời giải: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm hai phương trình, mỗi phương trình là phương trình bậc nhất hai ẩn.
Hệ ở phương án C thỏa mãn điều kiện này vì cả hai phương trình đều có bậc nhất đối với hai biến $x$ và $y$.

Câu 3. Trong các hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn sau, hệ phương trình nào nhận cặp số $(-1;-2)$ là nghiệm?
A. $\begin{cases} 12x-3y=-6 \\ -5x=5 \end{cases}$
B. $\begin{cases} 0,2x-3y=0,7 \\ -x-0,8y=2 \end{cases}$
C. $\begin{cases} -x+y=1 \\ 3x+y=-2 \end{cases}$
D. $\begin{cases} x+3y=2 \\ 31x+5y=-1 \end{cases}$
Đáp án: C
Lời giải: Thay giá trị $x=-1$ và $y=-2$ vào từng phương trình của hệ ở phương án C ta thấy thỏa mãn cả hai phương trình của hệ.

Câu 4. Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{x} – \frac{18}{x-2} = \frac{1}{x^2-4}$ là:
A. $x \neq \pm 2$
B. $x \neq 2$
C. $x \neq 0$
D. $x \neq 0, x \neq \pm 2$
Đáp án: D
Lời giải: Phân tích mẫu thức của các phân thức ta có $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
Để các phân thức có nghĩa, các mẫu thức $x$, $x-2$ và $x^2-4$ phải khác $0$.
Do đó điều kiện xác định là $x \neq 0$ và $x \neq \pm 2$.

Câu 5. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $B$, khi đó $\sin C$ bằng:
A. $\frac{AC}{BC}$
B. $\frac{AB}{AC}$
C. $\frac{AB}{BC}$
D. $\frac{BC}{AC}$
Đáp án: B
Lời giải: Trong tam giác vuông tại $B$, $\sin$ của góc nhọn bằng tỉ số giữa cạnh đối diện và cạnh huyền.
Cạnh đối diện với góc $C$ là cạnh $AB$ và cạnh huyền là cạnh $AC$. Do đó $\sin C = \frac{AB}{AC}$.

Câu 6. Cho $\alpha$ và $\beta$ là hai góc phụ nhau thì:
A. $\sin \alpha = \tan \beta$
B. $\sin \alpha = \cot \beta$
C. $\cos \alpha = \cot \beta$
D. $\sin \alpha = \cos \beta$
Đáp án: D
Lời giải: Hai góc phụ nhau có tổng số đo bằng $90^\circ$.
Theo tính chất tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau, $\sin$ của góc này bằng $\cos$ của góc kia, tức là $\sin \alpha = \cos \beta$.

Câu 7. Một ngân hàng đang áp dụng lãi suất gửi tiết kiệm kì hạn 12 tháng là $7,4\%$ trên một năm. Bà Mai dự kiến gửi một khoản tiền vào ngân hàng này và cần số tiền lãi hằng năm ít nhất là 60 triệu để chi tiêu. Hỏi số tiền bà Mai cần gửi tiết kiệm ít nhất là bao nhiêu? (Làm tròn đến triệu đồng)
A. 810 triệu đồng.
B. 800 triệu đồng.
C. 811 triệu đồng.
D. 700 triệu đồng.
Đáp án: C
Lời giải: Gọi số tiền cần gửi tiết kiệm là $x$ (triệu đồng). Số tiền lãi thu được sau một năm là $7,4\% \cdot x$.
Theo đề bài, số tiền lãi hằng năm ít nhất là 60 triệu đồng nên ta có bất phương trình $7,4\% \cdot x \geq 60$.
Giải bất phương trình này ta được $x \geq \frac{60}{0,074} \approx 810,81$ triệu đồng.
Làm tròn đến triệu đồng ta được số tiền cần gửi ít nhất là 811 triệu đồng.

Câu 8. Biết rằng $m \gt n$ với $m, n$ bất kỳ, chọn câu đúng:
A. $m-3 \gt n-3$
B. $m+3 \lt n+3$
C. $m-2 \lt n-2$
D. $n+2 \gt m+2$
Đáp án: A
Lời giải: Khi cộng hoặc trừ cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức thì chiều của bất đẳng thức không thay đổi.
Từ bất đẳng thức $m \gt n$, khi trừ cả hai vế cho 3 ta được $m-3 \gt n-3$.

Câu 9. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
A. $x – \frac{1}{2y^2} \lt 0$
B. $y \lt 10-2x$
C. $\frac{3}{4} – y \lt 1$
D. $0+0y \geq 8$
Đáp án: C
Lời giải: Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng tổng quát là $ax+b \lt 0$ (hoặc $\leq, \gt, \geq$) với $a$ khác $0$.
Biểu thức $\frac{3}{4} – y \lt 1$ là bất phương trình bậc nhất ẩn $y$.

Câu 10. Tỉ số lượng giác bằng $\tan 46^\circ$ là:
A. $\tan 46^\circ$
B. $\cos 44^\circ$
C. $\tan 44^\circ$
D. $\cot 44^\circ$
Đáp án: D
Lời giải: Hai góc phụ nhau có tổng số đo bằng $90^\circ$, ta có $46^\circ + 44^\circ = 90^\circ$.
Tang của góc này bằng côtang của góc kia, do đó $\tan 46^\circ = \cot 44^\circ$.

Câu 11. Biểu thức $A = \sin 35^\circ + \cos 35^\circ – \sin 55^\circ – \cos 55^\circ$ có giá trị là:
A. $-\sin 40^\circ – \cos 40^\circ$
B. $-80^\circ$
C. $0$
D. Không tính được
Đáp án: C
Lời giải: Vì $35^\circ$ và $55^\circ$ là hai góc phụ nhau nên ta có $\sin 35^\circ = \cos 55^\circ$ và $\cos 35^\circ = \sin 55^\circ$.
Thay vào biểu thức $A$ ta được: $A = \cos 55^\circ + \sin 55^\circ – \sin 55^\circ – \cos 55^\circ = 0$

Câu 12. Một cột điện cao $4\text{ m}$, tia nắng mặt trời chiếu xuống mặt đất tạo với mặt đất góc $35^\circ$. Khi đó chiều dài bóng của cột điện trên mặt đất (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai) là:
A. $4,40\text{ m}$
B. $3,41\text{ m}$
C. $5,71\text{ m}$
D. $2,09\text{ m}$
Đáp án: C
Lời giải: Áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông, chiều dài bóng của cột điện trên mặt đất tính bằng cách lấy chiều cao chia cho $\tan 35^\circ$, ta có $\frac{4}{\tan 35^\circ} \approx 5,71\text{ m}$.

PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Giải hệ phương trình $\begin{cases} 2x-6y=5 \\ 2x-6y=4 \end{cases}$ bằng phương pháp cộng đại số theo các bước phía dưới. Xét tính Đúng/Sai của các khẳng định sau:
a) Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, ta được: $\begin{cases} 2x-6y=5 \\ 2x-6y=4 \end{cases}$. __________
b) Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ, ta được $0x=1$. __________
c) Phương trình $0x=1$ vô số nghiệm. __________
d) Nghiệm tổng quát của hệ phương trình đã cho là $(6y+5; 2x-4)$ với $x \in \mathbb{R}$ tùy ý. __________
Đáp án: S|Đ|S|S
Lời giải:
a) Sai. Khi nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2 thì vế phải phải là $4 \cdot 2 = 8$, nhưng hệ giữ nguyên vế phải là 4 là thao tác biến đổi sai.
b) Đúng. Trừ từng vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ ban đầu ta được $(2x-6y)-(2x-6y)=5-4$, rút gọn thành $0x=1$.
c) Sai. Phương trình $0x=1$ không có giá trị nào của $x$ thỏa mãn nên đây là phương trình vô nghiệm chứ không phải vô số nghiệm.
d) Sai. Hệ phương trình đã cho vô nghiệm nên không tồn tại nghiệm tổng quát như vậy.

Câu 2. Cho bất phương trình $m(5x-2) \lt 1$. Xét tính Đúng/Sai của các khẳng định sau:
a) Bất phương trình đã cho là bất phương trình bậc nhất ẩn $x$ với $m \in \mathbb{R}$ tùy ý. __________
b) Khi $m=1$, bất phương trình đã cho có nghiệm là $x \lt \frac{3}{5}$. __________
c) Khi $m=-1$, bất phương trình đã cho có nghiệm là $x \lt \frac{1}{5}$. __________
d) Khi $m=-2$, bất phương trình đã cho có nghiệm nguyên lớn nhất là $-1$. __________
Đáp án: S|Đ|S|S
Lời giải:
a) Sai. Khi $m=0$, bất phương trình trở thành $0 \lt 1$ không chứa ẩn $x$, do đó không phải là bất phương trình bậc nhất với mọi $m$ tùy ý.
b) Đúng. Khi $m=1$, bất phương trình trở thành $5x-2 \lt 1$, rút gọn thành $5x \lt 3$, hay $x \lt \frac{3}{5}$.
c) Sai. Khi $m=-1$, bất phương trình trở thành $-5x+2 \lt 1$, rút gọn thành $-5x \lt -1$, hay $x \gt \frac{1}{5}$.
d) Sai. Khi $m=-2$, bất phương trình trở thành $-10x+4 \lt 1$, rút gọn thành $-10x \lt -3$, hay $x \gt \frac{3}{10}$, do đó các nghiệm nguyên lớn hơn $0,3$ nên nghiệm nguyên lớn nhất không phải là $-1$.

PHẦN III. Câu trả lời ngắn

Câu 1. Cho hệ phương trình $\begin{cases} 2x-y=0 \\ x+y=6 \end{cases}$. Tìm nghiệm $(x;y)$.
Đáp án: (2;4)
Lời giải:
Cộng hai phương trình vế theo vế: $3x=6 \Rightarrow x=2$.
Thay vào phương trình thứ hai: $2+y=6 \Rightarrow y=4$.

Câu 2. Cho tam giác $ABC$ có $AB=5\text{ cm}$, $BC=12\text{ cm}$ và $CA=13\text{ cm}$. Tính số đo góc $C$ (làm tròn đến độ).
Đáp án: $23^\circ$
Lời giải: Ta có $AB^2+BC^2 = 5^2+12^2 = 169$ và $CA^2 = 13^2 = 169$, suy ra $AB^2+BC^2=CA^2$.
Theo định lý Pythagore đảo, tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Khi đó $\sin C = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{13} \Rightarrow \widehat{C} \approx 23^\circ$.

PHẦN IV. Tự luận

Câu 1. Giải các phương trình sau:
a) $2x(x-3)+5(x-3)=0$; b) $\frac{3}{x+2} + \frac{x}{x^2-2x+4} = \frac{4x^2}{x^3+8}$.
Lời giải:
a) $2x(x-3)+5(x-3)=0$
$\Leftrightarrow (x-3)(2x+5)=0$
$\Leftrightarrow x=3$ hoặc $x=-\frac{5}{2}$
Vậy $S=\left\{3; -\frac{5}{2}\right\}$.
b) $\frac{3}{x+2} + \frac{x}{x^2-2x+4} = \frac{4x^2}{x^3+8}$ (ĐKXĐ: $x \neq -2$)
$\Leftrightarrow 3(x^2-2x+4)+x(x+2)=4x^2$
$\Leftrightarrow 3x^2-6x+12+x^2+2x=4x^2$
$\Leftrightarrow -4x=-12 \Leftrightarrow x=3$ (thỏa mãn).
Vậy $x=3$.

Câu 2. Một cửa hàng sách có hai khu sách mới và sách cũ, mỗi khu được bán đồng giá. Mai chi $112\,500$ đồng để mua 3 cuốn sách mới và 4 cuốn sách cũ, còn Linh chi $157\,500$ đồng để mua 10 cuốn sách cũ và 3 cuốn sách mới. Tính giá mỗi cuốn sách mới và giá mỗi cuốn sách cũ.
Lời giải: Gọi giá mỗi cuốn sách mới và cũ lần lượt là $x, y$ (đồng; $x, y \gt 0$).
Theo đề bài, ta có hệ phương trình:
$\begin{cases} 3x+4y=112500 \\ 3x+10y=157500 \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} 6y=45000 \\ 3x+4y=112500 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y=7500 \\ x=27500 \end{cases}$ (thỏa mãn)
Vậy giá sách mới là $27.500$ đồng, sách cũ là $7.500$ đồng.

Câu 3. Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng $34^\circ$ và bóng của một ngọn tháp trên mặt đất dài $86\text{ m}$. Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét). (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Lời giải: Xét tam giác vuông $ABH$ vuông tại $H$:

$BH = AH \cdot \tan 34^\circ = 86 \cdot \tan 34^\circ \approx 58,0\text{ m}$.
Chiều cao của tháp là khoảng $58,0\text{ m}$.

Câu 4. Cho tam giác $ABC$ có $A = 90^\circ$. Chứng minh rằng $\sin B + \cos C = 2\sin B$.
Lời giải: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$.
Suy ra $\cos C = \sin B$ (hai góc phụ nhau).
Do đó: $\sin B + \cos C = \sin B + \sin B = 2\sin B$ (điều phải chứng minh).