Đề ôn tập Giữa kì 1 Toán 11 2026 2027 – Đề 10

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.
Câu 1. Tập xác định của hàm số $y = \tan 2x$ là
A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$.
B. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right\}$.
C. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$.
D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right\}$.
Đáp án: B
Hướng dẫn giải. Hàm số xác định khi $\cos 2x \neq 0 \Leftrightarrow 2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}$. Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right\}$.

Câu 2. Trong các giá trị sau, $\cos \alpha$ có thể nhận giá trị nào?
A. $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
B. $-\frac{1}{2}$.
C. $-\sqrt{2}$.
D. $\frac{4}{3}$.
Đáp án: B
Hướng dẫn giải. Vì $-1 \leq \cos \alpha \leq 1 \Rightarrow \cos \alpha$ có thể nhận giá trị $-\frac{1}{2}$.

Câu 3. Tập giá trị của hàm số $y = \cot x$ là
A. $(-\infty; 0)$.
B. $(-1; 1)$.
C. $[-1; 1]$.
D. $\mathbb{R}$.
Đáp án: D
Hướng dẫn giải. Hàm số $y = \cot x$ có tập giá trị là $\mathbb{R}$.

Câu 4. Cho hai đường thẳng phân biệt $a, b$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Giả sử $a \parallel b, b \parallel (\alpha)$. Khi đó
A. $a \parallel (\alpha)$.
B. $a$ cắt $(\alpha)$.
C. $a \parallel (\alpha)$ hoặc $a \subset (\alpha)$.
D. $a \subset (\alpha)$.
Đáp án: C
Hướng dẫn giải. Hai đường thẳng $a, b$ phân biệt mà $a \parallel b$ và $b \parallel (\alpha)$ thì đường thẳng $a$ có thể song song với mặt phẳng $(\alpha)$ hoặc đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$.

Câu 5. Cho cấp số nhân $(u_n)$ với $u_1 = 3$, công bội $q = 2$. Số hạng $u_3$ của cấp số nhân đã cho bằng
A. $24$.
B. $12$.
C. $7$.
D. $48$.
Đáp án: B
Hướng dẫn giải. Cấp số nhân $(u_n)$ có số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}, \forall n \in \mathbb{N}, n \geq 1$. Do đó $u_3 = u_1 \cdot q^2 = 3 \cdot 2^2 = 12$.

Câu 6. Đẳng thức nào không đúng với mọi $x$?
A. $\cos^2 3x = \frac{1 + \cos 6x}{2}$.
B. $\sin^2 2x = \frac{1 + \cos 4x}{2}$.
C. $\cos 2x = 1 – 2\sin^2 x$.
D. $\sin 2x = 2\sin x \cos x$.
Đáp án: B
Hướng dẫn giải. Vì $\sin^2 2x = \frac{1 – \cos 4x}{2}$ nên đẳng thức ở phương án B là sai.

Câu 7. Trong không gian có duy nhất một mặt phẳng đi qua
A. hai đường thẳng cắt nhau.
B. ba điểm phân biệt.
C. một điểm và một đường thẳng.
D. hai đường thẳng phân biệt.
Đáp án: A
Hướng dẫn giải. Phương án B sai khi ba điểm đó thẳng hàng. Phương án C sai khi điểm đó nằm trên đường thẳng đó. Phương án D sai khi hai đường thẳng đó chéo nhau. Vậy chỉ có hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng.

Câu 8. Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = \frac{\tan x – 5}{1 – \sin^2 x}$.
A. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$.
B. $D = \mathbb{R} \setminus \{\pi + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$.
C. $D = \mathbb{R}$.
D. $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$.
Đáp án: D
Hướng dẫn giải. Điều kiện: $\begin{cases} \cos x \neq 0 \\ \sin^2 x \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$.

Câu 9. Một đường tròn có bán kính $15\text{ (cm)}$. Tìm độ dài cung tròn có góc ở tâm bằng $30^\circ$ là:
A. $\frac{\pi}{3}$.
B. $\frac{5\pi}{2}$.
C. $\frac{5\pi}{3}$.
D. $\frac{2\pi}{5}$.
Đáp án: B
Hướng dẫn giải. Độ dài cung tròn là $l = \frac{\pi R a}{180} = \frac{\pi \cdot 15 \cdot 30}{180} = \frac{5\pi}{2}$.

Câu 10. Tập nghiệm của phương trình $2\cos x + \sqrt{3} = 0$ là
A. $\left\{\pm \frac{\pi}{6} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$.
B. $\left\{\pm \frac{5\pi}{6} + k\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$.
C. $\left\{\pm \frac{5\pi}{6} + k2\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$.
D. $\left\{\pm \frac{\pi}{6} + k2\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$.
Đáp án: C
Hướng dẫn giải. $2\cos x + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) \Leftrightarrow x = \pm \frac{5\pi}{6} + k2\pi, (k \in \mathbb{Z})$. Vậy tập nghiệm của phương trình là: $\left\{\pm \frac{5\pi}{6} + k2\pi \;\middle|\; k \in \mathbb{Z}\right\}$.

Câu 11. Cho cấp số nhân có $u_1 = -3, q = \frac{2}{3}$. Tính $u_5$?
A. $u_5 = \frac{27}{16}$.
B. $u_5 = \frac{-16}{27}$.
C. $u_5 = \frac{-27}{16}$.
D. $u_5 = \frac{16}{27}$.
Đáp án: B
Hướng dẫn giải. Ta có: $u_5 = u_1 \cdot q^4 = (-3) \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^4 = -\frac{16}{27}$.

Câu 12. Cho dãy số $\begin{cases} u_1 = 4 \\ u_{n+1} = u_n + n \end{cases}$. Năm số hạng đầu của dãy số là
A. $4, 16, 32, 64, 128$.
B. $4, 6, 9, 13, 18$.
C. $4, 5, 7, 10, 14$.
D. $4, 5, 6, 7, 8$.
Đáp án: C
Hướng dẫn giải. Ta có: $u_1 = 4, u_2 = u_1 + 1 = 5, u_3 = u_2 + 2 = 7, u_4 = u_3 + 3 = 10, u_5 = u_4 + 4 = 14$. Vậy năm số hạng đầu là $4, 5, 7, 10, 14$.

PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai

Câu 1. Cho dãy số $(u_n)$ biết $\begin{cases} u_1 = 3 \\ u_{n+1} = \frac{9}{u_n} \end{cases}$. Khi đó:
a) Dãy số $(u_n)$ có số hạng thứ 2 là $u_2 = \frac{9}{u_1} = 3$. __________
b) Giá trị của $u_4 – u_2 = 3$. __________
c) Công thức tổng quát của $(u_n)$ là $u_n = 3n$. __________
d) Dãy số $(u_n)$ là dãy không tăng không giảm. __________
Đáp án: Đ|S|S|Đ
Hướng dẫn giải. Ta có $u_1 = 3 \Rightarrow u_2 = \frac{9}{3} = 3 \Rightarrow u_3 = \frac{9}{3} = 3 \dots$
Dãy số là dãy hằng $u_n = 3$ với mọi $n \geq 1$.
– a) $u_2 = 3$. Đúng.
– b) $u_4 – u_2 = 3 – 3 = 0$. Sai.
– c) $u_n = 3$. Sai.
– d) Dãy hằng là dãy không tăng và không giảm. Đúng.

Câu 2. Cho tứ giác $ABCD$ có $AC$ và $BD$ giao nhau tại $O$ và một điểm $S$ không thuộc mặt phẳng $(ABCD)$. Trên đoạn $SC$ lấy một điểm $M$ không trùng với $S$ và $C, K = AM \cap SO$. Khi đó:
a) $SO$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC), (ABC)$. __________
b) $SO$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAC), (SBD)$. __________
c) Giao điểm của đường thẳng $SD$ với mặt phẳng $(ABM)$ là điểm $N$ thuộc đường thẳng $AK$. __________
d) Giao điểm của đường thẳng $SO$ với mặt phẳng $(ABM)$ là điểm $K$. __________
Đáp án: S|Đ|S|Đ
Hướng dẫn giải.
– a) Sai, giao tuyến $(SAC) \cap (ABC) = AC$.
– b) Đúng, vì $S$ và $O$ là điểm chung của $(SAC)$ và $(SBD)$.
– c) Sai, giao điểm $N$ của $SD$ và $(ABM)$ là $N = BK \cap SD$.
– d) Đúng, vì $K = AM \cap SO$, mà $AM \subset (ABM)$ nên $K = SO \cap (ABM)$.

PHẦN III. Câu trả lời ngắn

Câu 1. Cho tứ diện $ABCD$ và ba điểm $P, Q, R$ lần lượt lấy trên ba cạnh $AB, CD, BC$. Cho $PR \parallel AC$ và $CQ = 2QD$. Gọi giao điểm của $AD$ và $(PQR)$ là $S$. Khi đó $AD = kDS$. Tìm giá trị của $k$.
Đáp án: 3
Hướng dẫn giải.
Gọi $I$ là giao điểm của $BD$ và $RQ$. Nối $P$ với $I$, cắt $AD$ tại $S$.
Ta có $\frac{DI}{IB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QD} = 1$ mà $\frac{CQ}{QD} = 2$ suy ra $\frac{DI}{IB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot 2 = 1 \Leftrightarrow \frac{DI}{IB} = \frac{1}{2} \frac{RC}{BR}$.
Vì $PR$ song song với $AC$ suy ra $\frac{RC}{BR} = \frac{AP}{PB} \Rightarrow \frac{DI}{IB} = \frac{1}{2} \frac{AP}{PB}$.
Lại có $\frac{SA}{SD} \cdot \frac{DI}{IB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1 \Rightarrow \frac{SA}{SD} \cdot \frac{1}{2} \frac{AP}{PB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1 \Leftrightarrow \frac{SA}{SD} = 2 \Rightarrow AD = 3DS$ nên $k = 3$.

Câu 2. Tập giá trị của hàm số $y = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) – 5$ là đoạn $[a; b]$, với $a, b \in \mathbb{Z}$. Tính $a + b$.
Đáp án: -10
Hướng dẫn giải. Ta có: $-1 \leq \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq 1, \forall x \in \mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow -2 \leq 2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leq 2$.
$\Leftrightarrow -2 – 5 \leq 2\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) – 5 \leq 2 – 5$.
$\Leftrightarrow -7 \leq y \leq -3$.
Vậy tập giá trị là đoạn $[-7; -3]$, suy ra $a = -7, b = -3$.
Giá trị $a + b = -7 + (-3) = -10$.

Câu 3. Cho cung tròn có số đo $135^\circ$ nằm trong đường tròn có đường kính $20\text{ cm}$. Độ dài cung tròn đã cho bằng bao nhiêu $\text{cm}$? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Đáp án: 23,6
Hướng dẫn giải. Bán kính đường tròn là $R = \frac{20}{2} = 10\text{ cm}$.
Độ dài cung tròn tính theo công thức: $L = \frac{n \cdot \pi \cdot R}{180}$, trong đó $n = 135^\circ$.
$L = \frac{135 \cdot \pi \cdot 10}{180} = \frac{1350\pi}{180} = 7,5\pi \approx 23,56\text{ cm}$.
Làm tròn đến hàng phần chục ta được kết quả $23,6$.

Câu 4. Một chiếc đèn trang trí hình tròn được chia thành 40 phần bằng nhau, mỗi phần có một bóng đèn LED nhỏ. Khi bật chế độ hiệu ứng, các bóng đèn này sẽ sáng lần lượt. Nếu hiệu ứng làm sáng 5 bóng đèn liên tiếp, thì tổng số đo góc (tính theo độ) mà 5 bóng đèn đó chiếm trên vòng tròn là bao nhiêu?

Đáp án: 45
Hướng dẫn giải. Vòng tròn được chia thành 40 phần bằng nhau, nên số đo góc của mỗi phần (tương ứng với một bóng đèn) là:
$\frac{360^\circ}{40} = 9^\circ$.
Hiệu ứng làm sáng 5 bóng đèn liên tiếp chiếm 5 phần như thế trên vòng tròn. Vậy tổng số đo góc mà 5 bóng đèn đó chiếm là:
$5 \times 9^\circ = 45^\circ$.

PHẦN IV. Tự luận

Câu 1. Cho $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $-\pi \lt x \lt -\frac{\pi}{2}$. Giá trị của biểu thức
$T = 9\sin(x + 2025\pi) + \sqrt{3}\tan(2025\pi – x)$
bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án: 4,90
Hướng dẫn giải. Vì $-\pi \lt x \lt -\frac{\pi}{2}$ nên $\sin x \lt 0$.
Ta có $\sin x = -\sqrt{1 – \cos^2 x} = -\sqrt{1 – \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3}$.
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\sqrt{6}/3}{-\sqrt{3}/3} = \sqrt{2}$.
Biến đổi biểu thức $T$:
$T = 9\sin(x + \pi + 2024\pi) + \sqrt{3}\tan(\pi – x + 2024\pi)$
$T = -9\sin x – \sqrt{3}\tan x = -9\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) – \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{6} – \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.
Tính giá trị xấp xỉ: $T = 2\sqrt{6} \approx 4,8989… \approx 4,90$.

Câu 2. Theo Định luật khúc xạ ánh sáng, khi một tia sáng được chiếu tới mặt phân cách giữa hai môi trường trong suốt không đồng chất thì tỉ số $\frac{\sin i}{\sin r}$, với $i$ là góc tới và $r$ là góc khúc xạ, là một hằng số phụ thuộc vào chiết suất của hai môi trường. Biết rằng khi góc tới là $45^\circ$ thì góc khúc xạ bằng $30^\circ$. Khi góc tới là $60^\circ$ thì góc khúc xạ là bao nhiêu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Đáp án: $37,76^\circ$
Hướng dẫn giải. Theo định luật khúc xạ ánh sáng, tỉ số $\frac{\sin i}{\sin r}$ là một hằng số.
Theo đề bài, khi $i = 45^\circ$ thì $r = 30^\circ$, ta có hằng số này là: $n = \frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ}$.
Khi góc tới là $i’ = 60^\circ$, gọi góc khúc xạ tương ứng là $r’$, ta có phương trình:
$\frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\sin r’} \Rightarrow \sin r’ = \frac{\sin 60^\circ \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$
Suy ra $r’ \approx 37,76^\circ$.

Câu 3. Một ngôi nhà hình kim tự tháp (có gạch nâu ốp bên ngoài) được bao quanh rất nhiều cây cối và là nơi tuyệt vời để nghỉ mát mùa hè; ngôi nhà có chiều dài, chiều rộng đều là $6,8\text{ m}$; chiều cao là $2,72\text{ m}$. Khi xây dựng ngôi nhà, người chủ đã tính toán số viên gạch nâu cần ốp tường; biết hàng trên ít hơn hàng dưới 1 viên, hàng trên cùng là 1 viên, kích thước viên gạch là $0,2 \times 0,08 \times 1\text{ m}$. Hãy dự tính số viên gạch nâu ốp tường cả bốn mặt của ngôi nhà.
Đáp án: 2380
Hướng dẫn giải. Một bức tường có chiều cao $2,72\text{ m}$. Với mỗi hàng gạch cao $0,08\text{ m}$, số hàng gạch của một bức tường là:
$2,72 : 0,08 = 34\text{ hàng}$.
Số gạch ở mỗi hàng tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu (hàng trên cùng) là $u_1 = 1$, công sai $d = 1$ (do hàng dưới nhiều hơn hàng trên 1 viên).
Số viên gạch trên một bức tường là tổng của 34 số hạng đầu của cấp số cộng này:
$S_{34} = \frac{34 \cdot [2 \cdot 1 + (34 – 1) \cdot 1]}{2} = 17 \cdot (2 + 33) = 17 \cdot 35 = 595\text{ viên}$.
Vì ngôi nhà hình kim tự tháp có 4 mặt tường đều bằng nhau nên tổng số viên gạch nâu ốp tường cả bốn mặt là:
$4 \cdot 595 = 2380\text{ viên}$.
Vậy người chủ cần dự tính mua $2380$ viên gạch.