Bài tập trắc nghiệm Toán 11 Kết nối tri thức – Bài 15 giúp học sinh lớp 11 từng bước làm chủ kiến thức về giới hạn của dãy số theo chương trình Giáo dục phổ thông 2018. Trong bài học này, học sinh sẽ tìm hiểu khái niệm giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của dãy số, nhận biết các dạng dãy có giới hạn, đồng thời vận dụng các định lý và quy tắc tính giới hạn để giải quyết nhiều dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Hệ thống câu hỏi được xây dựng đa dạng, tạo điều kiện để học sinh rèn luyện khả năng phân tích quy luật của dãy số, thực hiện các phép biến đổi hợp lý và áp dụng kiến thức vào những tình huống toán học cụ thể. Nội dung bám sát Toán 11 sách Kết nối tri thức đang được giảng dạy trong năm học 2026–2027, giúp học sinh củng cố nền tảng và nâng cao kỹ năng giải toán.
Không chỉ hướng đến việc kiểm tra khả năng ghi nhớ lý thuyết, bộ câu hỏi lớp 11 còn chú trọng phát triển tư duy và năng lực vận dụng của học sinh. Các bài tập được sắp xếp theo nhiều cấp độ, bao quát những dạng toán thường gặp trong các bài kiểm tra và đề thi, giúp người học làm quen với nhiều cách tiếp cận khác nhau. Mỗi câu hỏi đều có đáp án chính xác, nhiều bài được trình bày kèm lời giải chi tiết để học sinh dễ dàng đối chiếu kết quả, hiểu rõ phương pháp giải và khắc phục những lỗi sai phổ biến. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích hỗ trợ học sinh tự học, ôn tập hiệu quả và cải thiện kết quả học tập môn Toán 11.
ĐỀ THI
Câu 1: Trong toán học, kí hiệu $\lim u_n = L$ được dùng để mô tả trạng thái nào sau đây của dãy số?
A. Giá trị của $u_n$ luôn bằng hằng số $L$ với mọi chỉ số $n$.
B. Các số hạng của dãy $u_n$ ngày càng lớn và tiến tới vô cực.
C. Số hạng $u_n$ tiến gần đến $L$ khi chỉ số $n$ trở nên rất lớn.
D. Dãy số $u_n$ không bao giờ đạt được giá trị $L$ trong thực tế.
Câu 2: Kết quả của giới hạn cơ bản $\lim \dfrac{1}{n}$ khi $n$ tiến ra vô cực là?
A. Dương vô cực.
B. Giá trị bằng 1.
C. Giá trị bằng 0.
D. Âm vô cực.
Câu 3: Đối với một dãy số nhân lùi vô hạn có công bội $q$, điều kiện cần và đủ để $\lim q^n = 0$ là?
A. Công bội $q$ lớn hơn 1.
B. Công bội $q$ bằng đúng 1.
C. Giá trị tuyệt đối của $q$ nhỏ hơn 1.
D. Giá trị tuyệt đối của $q$ lớn hơn 1.
Câu 4: Khi cả hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$ đều có giới hạn hữu hạn, giới hạn của tổng $u_n + v_n$ được xác định là?
A. Hiệu hai giới hạn đó.
B. Tích hai giới hạn đó.
C. Tổng hai giới hạn đó.
D. Thương hai giới hạn đó.
Câu 5: Khẳng định nào sau đây là đúng về giới hạn của một tích các dãy số hội tụ?
A. Giới hạn của tích bằng tích các giới hạn thành phần.
B. Giới hạn của tích bằng tổng các giới hạn thành phần.
C. Giới hạn của tích luôn bằng không trong mọi trường hợp.
D. Giới hạn của tích không tồn tại nếu có một số hạng âm.
Câu 6: Giới hạn của một dãy số không đổi $u_n = c$ (với $c$ là hằng số thực) có giá trị bằng?
A. Luôn bằng giá trị 0.
B. Luôn bằng giá trị 1.
C. Luôn bằng hằng số $c$.
D. Luôn bằng dương vô cực.
Câu 7: Một dãy số được gọi là có giới hạn vô cực ($+\infty$) khi chỉ số $n$ tăng lên nếu?
A. Các giá trị $u_n$ lớn hơn một số dương bất kì khi $n$ đủ lớn.
B. Nó luôn nhỏ hơn một số thực cho trước với mọi chỉ số $n$.
C. Nó có các số hạng luân phiên thay đổi dấu dương và âm.
D. Nó hội tụ về giá trị không sau một khoảng thời gian dài.
Câu 8: Giá trị của giới hạn dãy phân thức bậc nhất $\lim \dfrac{an+b}{cn+d}$ (với $c \neq 0$) được tính bằng?
A. Tỉ số của hai hằng số $b/d$.
B. Tỉ số của hai hằng số $b/c$.
C. Tỉ số của hai hệ số $a/c$.
D. Tỉ số của hai hệ số $a/d$.
Câu 9: Khi tính giới hạn của một dãy số dạng phân thức đại số theo $n$, phương pháp phổ biến nhất là?
A. Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của $n$.
B. Nhân cả tử và mẫu với lũy thừa bậc cao nhất của $n$.
C. Chỉ giữ lại các hằng số tự do và bỏ qua các biến số $n$.
D. Thay thế toàn bộ biến $n$ bằng giá trị không để tính toán.
Câu 10: Về mặt ý nghĩa khoa học, giới hạn của một dãy số giúp chúng ta dự báo yếu tố nào?
A. Giá trị của số hạng đầu tiên của dãy số đó trong thực tế.
B. Tổng của tất cả các số hạng có trong dãy số hữu hạn.
C. Trạng thái ổn định lâu dài của hệ thống khi thời gian trôi đi.
D. Khoảng cách cố định giữa các số hạng liên tiếp của dãy.
Câu 11: Thực hiện phép tính trực tiếp giá trị giới hạn sau: $\lim \dfrac{n+1}{n+1}$?
A. Giá trị bằng 0.
B. Giá trị bằng 1.
C. Giá trị bằng 2.
D. Không tồn tại giới hạn.
Câu 12: Hãy xác định kết quả sau khi thay số vào biểu thức: $\lim \dfrac{2n+1}{n+2}$?
A. Giá trị bằng 1.
B. Giá trị bằng 2.
C. Giá trị bằng 3.
D. Giá trị bằng 0.
Câu 13: Tính toán giá trị giới hạn của dãy số sau đây: $\lim \dfrac{3n+1}{n+3}$?
A. Giá trị bằng 3.
B. Giá trị bằng 4.
C. Giá trị bằng 0.
D. Giá trị bằng 1.
Câu 14: Kết quả chính xác của biểu thức giới hạn $\lim \dfrac{4n+1}{n+4}$ nhận giá trị nào?
A. Giá trị bằng 5.
B. Giá trị bằng 0.
C. Giá trị bằng 1.
D. Giá trị bằng 4.
Câu 15: Hãy rút gọn phép tính và chọn đáp án đúng cho: $\lim \dfrac{5n+1}{n+5}$?
A. Giá trị bằng 0.
B. Giá trị bằng 1.
C. Giá trị bằng 5.
D. Giá trị bằng 6.
Câu 16: Từ các quy tắc tính toán giới hạn, hãy suy ra kết quả của: $\lim \dfrac{6n+1}{n+6}$?
A. Giá trị bằng 1.
B. Giá trị bằng 6.
C. Giá trị bằng 7.
D. Giá trị bằng 0.
Câu 17: Đối chiếu các phương án, giá trị đúng của giới hạn $\lim \dfrac{7n+1}{n+7}$ là?
A. Giá trị bằng 7.
B. Giá trị bằng 8.
C. Giá trị bằng 0.
D. Giá trị bằng 1.
Câu 18: Khi áp dụng công thức giới hạn dãy phân thức, kết quả của $\lim \dfrac{8n+1}{n+8}$ là?
A. Giá trị bằng 9.
B. Giá trị bằng 0.
C. Giá trị bằng 1.
D. Giá trị bằng 8.
Câu 19: Kết quả nào sau đây là hợp lí nhất cho biểu thức: $\lim \dfrac{9n+1}{n+9}$?
A. Giá trị bằng 0.
B. Giá trị bằng 1.
C. Giá trị bằng 9.
D. Giá trị bằng 10.
Câu 20: Bước tính cuối cùng để xác định giá trị của $\lim \dfrac{10n+1}{n+10}$ cho kết quả?
A. Giá trị bằng 1.
B. Giá trị bằng 10.
C. Giá trị bằng 11.
D. Giá trị bằng 0.
Câu 21: Một thiết bị đo điện tử có sai số hệ thống giảm dần theo số lần đo $n$ với công thức $e_n = 5/n$. Khi số lần đo tiến ra vô cực, sai số này sẽ?
A. Ổn định tại giá trị bằng năm.
B. Tăng dần lên đến dương vô cực.
C. Triệt tiêu hoàn toàn về giá trị không.
D. Dao động liên tục quanh giá trị một.
Câu 22: Chi phí trung bình để sản xuất một đơn vị sản phẩm được tính bởi $C_n = \dfrac{100n + 500}{n}$ (nghìn đồng). Khi quy mô sản xuất $n$ rất lớn, chi phí này tiến tới?
A. Năm trăm nghìn đồng.
B. Không nghìn đồng.
C. Một trăm linh năm nghìn đồng.
D. Một trăm nghìn đồng.
Câu 23: Một chất phóng xạ phân rã sao cho khối lượng còn lại sau $n$ chu kì là $m_n = m_0(1/2)^n$. Giới hạn khối lượng chất này sau một thời gian rất dài là?
A. Khối lượng sẽ biến mất hoàn toàn ($0$).
B. Khối lượng bằng một nửa ban đầu.
C. Khối lượng không thay đổi theo thời gian.
D. Khối lượng tiến tới dương vô cực.
Câu 24: Một vận động viên thực hiện các bước nhảy sao cho quãng đường của bước sau bằng $1/3$ bước trước. Nếu bước đầu là $2m$, giới hạn tổng quãng đường nhảy là?
A. Tiến ra dương vô cực.
B. Hội tụ về giá trị ba mét.
C. Hội tụ về giá trị hai mét.
D. Hội tụ về giá trị sáu mét.
Câu 25: Nhiệt độ của một vật nung nóng để ngoài không khí giảm dần theo công thức $T_n = 25 + 75(0,8)^n$ độ C. Sau một thời gian rất lâu, nhiệt độ vật sẽ?
A. Bằng với nhiệt độ nung ban đầu.
B. Hạ xuống đến mức không độ C.
C. Cân bằng tại nhiệt độ môi trường ($25^\circ C$).
D. Tiếp tục giảm xuống âm vô cực.
Câu 26: Một bể chứa có nồng độ muối $C_n = \dfrac{3n}{n+1}$ (g/l). Khi lượng nước thêm vào $n$ chu kì vô hạn, nồng độ muối trong bể tiệm cận đến?
A. Không gam trên một lít nước.
B. Một gam trên một lít nước.
C. Vô cực gam trên một lít nước.
D. Ba gam trên một lít nước.
Câu 27: Một thuật toán máy tính cần thời gian $t_n = \dfrac{2n^2 + n}{n^2}$ giây để xử lý $n$ dữ liệu. Khi lượng dữ liệu cực lớn, thời gian xử lý mỗi đơn vị tiệm cận về?
A. Giá trị bằng hai giây.
B. Giá trị bằng không giây.
C. Giá trị bằng một giây.
D. Thời gian sẽ tăng lên vô hạn.
Câu 28: Một quả bóng nảy lên với độ cao giảm dần theo một cấp số nhân lùi vô hạn. Giới hạn tổng quãng đường quả bóng di chuyển đến khi dừng hẳn là?
A. Luôn luôn là một số vô hạn.
B. Một số hữu hạn xác định.
C. Luôn luôn bằng độ cao ban đầu.
D. Không thể xác định được giới hạn.
Câu 29: Giá trị của một chiếc máy khấu hao theo thời gian với công thức $V_n = 50 + \dfrac{200}{n}$ (triệu đồng). Giá trị phế liệu tối thiểu của máy là?
A. Hai trăm triệu đồng.
B. Hai trăm năm mươi triệu đồng.
C. Năm mươi triệu đồng.
D. Không triệu đồng.
Câu 30: Một quần thể sinh vật phát triển theo mô hình có giới hạn nguồn sống, số lượng cá thể $N_n = \dfrac{5000n}{n+100}$. Quy mô tối đa của quần thể này là?
A. Một trăm cá thể.
B. Năm triệu cá thể.
C. Không có giới hạn tối đa.
D. Năm nghìn cá thể.
