Đề thi cuối kì 2 Toán 12 năm 2025 2026 trường THPT Xuyên Mộc – TP HCM

PHẦN I. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Nếu $F'(x) = \frac{1}{2x-1}$ và $F(1) = 1$ thì giá trị của $F(4)$ bằng
A. $ln 7$.
B. $ln 3$.
C. $1 + \frac{1}{2}ln 7$.
D. $1 + ln 7$.

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(1; 2; -3)$ và có một \vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; -1; 4)$ là:
A. $3x – y + 4z – 11 = 0$.
B. $x + 2y – 3z – 13 = 0$.
C. $3x – y + 4z + 11 = 0$.
D. $3x – y + 4z + 13 = 0$.

Câu 3. Một bình đựng 9 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 viên bi bỏ ra ngoài rồi lấy tiếp 1 viên bi nữa. Tính xác suất để viên bi lấy ra lần 2 có màu xanh, biết rằng viên bi thứ nhất màu đỏ.
A. $\frac{3}{5}$.
B. $\frac{63}{256}$.
C. $\frac{21}{80}$.
D. $\frac{9}{16}$.

Câu 4. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$ và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ được tính theo công thức nào sau đây?
A. $S = \pi \int_{a}^{b} |f(x) – g(x)| dx$.
B. $S = \int_{a}^{b} [f(x) – g(x)] dx$.
C. $S = \int_{a}^{b} |f(x) – g(x)| dx$.
D. $S = \left| \int_{a}^{b} [f(x) – g(x)] dx right|$.

Câu 5. Cho hai biến cố $A$, $B$ thoả mãn $P(B) = 0,5$; $P(A|B) = 0,6$; $P(Aoverline{B}) = 0,3$. Khi đó, $P(A)$ bằng:
A. $0,6$.
B. $0,15$.
C. $0,18$.
D. $0,3$.

Câu 6. Trong không gian $Oxyz$ cho hai mặt phẳng $(P): 2x – 3y – z + 1 = 0$ và $(Q): -4x + 6y + 2z + 26 = 0$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng
A. $\frac{25\sqrt{14}}{14}$
B. $\sqrt{14}$
C. $\frac{27\sqrt{14}}{14}$
D. $\sqrt{3}$

Câu 7. Trong không gian $Oxyz$, cho phương trình mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 – 4x – 6y + 2z – 2 = 0$. Tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ là:
A. $I(2; 3; -1)$.
B. $I(2; -1; 3)$.
C. $I(2; -3; 1)$.
D. $I(-2; 1; -3)$.

Câu 8. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^2 + \frac{2}{x^2}$.
A. $int f(x)dx = \frac{x^3}{3} + \frac{2}{x} + C$.
B. $int f(x)dx = \frac{x^3}{3} – \frac{2}{x} + C$.
C. $int f(x)dx = \frac{x^3}{3} + 2ln|x^2| + C$.
D. $int f(x)dx = \frac{x^3}{3} – 2ln|x^2| + C$.

Câu 9. Biết $\int_{1}^{5} f(x)dx = 4$. Giá trị của $\int_{1}^{5} 2f(x)dx$ bằng
A. $2$
B. $-8$
C. $8$
D. $-2$

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu có tâm $I(2; -1; 3)$ và đi qua điểm $A(1; 2; -1)$ có phương trình là:
A. $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 + (z + 1)^2 = 26$.
B. $(x – 2)^2 + (y + 1)^2 + (z – 3)^2 = 26$.
C. $(x + 2)^2 + (y – 1)^2 + (z + 3)^2 = 26$.
D. $(x – 2)^2 + (y + 1)^2 + (z – 3)^2 = \sqrt{26}$

Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, hai đường thẳng $Delta_1, Delta_2$ tương ứng có $\vec{u}_1 = (a_1; b_1; c_1)$ và $\vec{u}_2 = (a_2; b_2; c_2)$ là hai \vectơ chỉ phương. Gọi $varphi$ là góc giữa $Delta_1$ và $Delta_2$. Chọn khẳng định ĐÚNG
A. $cos varphi = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} + \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
B. $cos varphi = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
C. $sin varphi = \frac{|a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
D. $cos varphi = \frac{a_1a_2 + b_1b_2 + c_1c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$

Câu 12. Cho $A, B$ là các biến cố của một phép thử. Biết rằng $P(B) gt 0$, xác suất của biến cố $A$ với điều kiện biến cố $B$ đã xảy ra được tính theo công thức nào sau đây?
A. $P(A|B) = \frac{P(A) \cdot P(B|A)}{P(B)}$.
B. $P(A|B) = \frac{P(A)}{P(B)}$.
C. $P(A|B) = \frac{P(B) \cdot P(B|A)}{P(A)}$.
D. $P(A|B) = \frac{P(AB) \cdot P(A)}{P(B)}$.

PHẦN II. Trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $Delta: \frac{x – 2}{-1} = \frac{y – 1}{-2} = \frac{z + 3}{1}$ và hai mặt phẳng $(P): 3x + 6y – 3z + 2026 = 0$, $(Q): x + 2y – z – 4 = 0$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
a) Một \vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n} = (1; 2; -1)$. __________
b) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng $\frac{2038}{3\sqrt{6}}$. __________
c) Một \vectơ chỉ phương của $Delta$ là $\vec{u} = (2; 1; -3)$. __________
d) Cosin của góc giữa $Delta$ và trục $Ox$ bằng $\frac{-1}{\sqrt{6}}$. __________
Đáp án: Đ|S|Đ|S

Câu 2. Cho $D$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2 – x, x = -1, x = 2$ và trục hoành. Gọi $S$ là diện tích của $D$.
a) Cho hàm số $f(x) = \begin{\cases} x^2 + x – 2, & x geq 2 \ \frac{1}{2}x + 3, & x lt 2 end{\cases}$ thì $\int_{2}^{3} f(x)dx = \int_{2}^{3} (x^2 + x – 2)dx$. __________
b) $S = \int_{-1}^{2} |x^2 – x|dx$. __________
c) Thể tích của khối tròn xoay khi quay $D$ quanh trục $Ox$ được tính bằng $V = \pi \int_{-1}^{2} (x^2 – x)^2 dx$. __________
d) $I = \int_{0}^{1} (x^5 – 4x^3 – x^2 + x + 1)dx = \left( \frac{x^6}{6} – x^4 – \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x right) Big|_{0}^{1}$. __________
Đáp án: Đ|S|Đ|S

Câu 3. Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp thứ nhất chứa 5 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh, hộp thứ hai chứa 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai. Gọi $A$ là biến cố “Viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là bi đỏ”, $B$ là biến cố “Viên bi được chuyển từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai là bi đỏ”. Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau?
a) Xác suất của biến cố A với điều kiện B không xảy ra là $\frac{7}{11}$. __________
b) Xác suất của biến cố $B$ là $0,5$. __________
c) Xác suất của biến cố A với điều kiện B xảy ra là $\frac{7}{11}$. __________
d) Xác suất để viên bi được lấy ra từ hộp thứ hai là viên bi đỏ là $\frac{13}{22}$. __________
Đáp án: Đ|S|Đ|S

Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $S_1: x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 4y + 2z – 10 = 0$; mặt cầu $S_2: (x + 1)^2 + (y – 1)^2 + (z + 2)^2 = 9$.
a) Mặt cầu $S_2$ có tâm $I_2(-1; 1; -2)$ và bán kính $R_2 = 9$. __________
b) Mặt cầu $S$ có tâm $I(1; -2; 3)$ và tiếp xúc mặt phẳng $(P): x – y + z – 1 = 0$ có phương trình là: $(x – 1)^2 + (y + 2)^2 + (z – 3)^2 = \frac{25}{3}$. __________
c) Điểm $A(0; 2; -3)$ nằm trong mặt cầu $(S_2)$. __________
d) Mặt cầu $S_1$ có tâm $I_1(1; -2; -1)$ và bán kính $R_1 = 4$. __________
Đáp án: Đ|S|Đ|S

PHẦN III. Trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Câu 1. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hình thang $ABCD$ với $A(-3; 0), B(-1; 2), C(1; 2), D(2; 0)$. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang $ABCD$ quay trục $Ox$. (Làm tròn kết quả đến hàng phần chục)

Đáp án: __________

Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho ba điểm $A(8; 5; -11), B(5; 3; -4), C(1; 2; -6)$ và mặt cầu $(S): (x – 2)^2 + (y – 4)^2 + (z + 1)^2 = 9$. Gọi $M(a; b; c)$ là điểm thuộc thuộc mặt cầu $(S)$ sao cho $|overrightarrow{MA} – overrightarrow{MB} – overrightarrow{MC}|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức $T = a + b + c$.
Đáp án: __________

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x + y – z – 1 = 0$ và đường thẳng $d: \frac{x + 2}{2} = \frac{y – 4}{-2} = \frac{z + 1}{1}$. Gọi đường thẳng $d’$ là hình chiếu vuông góc của $d$ trên mặt phẳng $(P)$, một \vectơ chỉ phương của đường thẳng $d’$ là $\vec{u} = (7; a; b)$. Tính $a – 2b$
Đáp án: __________

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), một máy bay đang ở vị trí $A(3; -2; 1)$ và bay theo đường thẳng để hạ cánh tại vị trí $B\left(4; \frac{13}{2}; 0right)$ trên đường băng. Có một lớp mây được mô phỏng bởi mặt phẳng $(alpha)$ đi qua ba điểm $M(8; 0; 0); N(0; -8; 0); P(0; 0; 8)$. Độ cao của máy bay khi máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh là bao nhiêu km (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Đáp án: __________

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$. Biết $f(0) = 4$ và $f'(x) = 2sin^2 \frac{x}{2} + 3, forall x in mathbb{R}$, khi đó $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)dx = \frac{a\pi^2 + b\pi + c}{2}$. Tính $a + b + c$
Đáp án: __________

Câu 6. Một loại kit test dùng để xét nghiệm nhanh COVID-19, cho kết quả dương tính đối với những người thực sự nhiễm vi rút SARS-COV2 là 90% và cũng cho kết quả dương tính đối với những người không nhiễm vi rút SARS-COV2 là 5%. Biết tỉnh T có tỉ lệ người nhiễm vi rút SARS-COV2 là 1%. Chọn ngẫu nhiên một người của tỉnh T làm xét nghiệm thì cho kết quả dương tính. Tính xác suất để người đó thực sự nhiễm vi rút SARS-COV2. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Đáp án: __________