Đề thi cuối kì 2 Toán 12 năm 2025 2026 sở GDĐT Bắc Ninh là tài liệu học thuật quan trọng dành cho học sinh lớp 12, được biên soạn bởi Sở GD&ĐT Bắc Ninh nhằm mục đích khảo sát chất lượng giáo dục và hỗ trợ các em chuẩn bị tốt nhất cho kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2026. Nội dung của mẫu đề cuối kì 2 lớp 12 môn Toán này tập trung sâu vào các chuyên đề trọng tâm bao gồm Tích phân và ứng dụng, Hình học tọa độ Oxyz, cùng chương Xác suất và Thống kê. Qua việc thực hiện bài thi, học sinh có cơ hội rèn luyện kỹ năng đọc hiểu dữ kiện, trau dồi khả năng chọn đáp án nhanh và vận dụng linh hoạt kiến thức toán học vào các tình huống thực tiễn. Đây chính là dạng đề thi toán 12 tiêu chuẩn, giúp học sinh lớp 12 tự đánh giá năng lực và xây dựng lộ trình ôn tập hiệu quả cho những kỳ thi quan trọng sắp tới.
Việc luyện tập với các bộ đề ôn thi 12 trên nền tảng dethitracnghiem.vn mang lại lợi ích vượt trội nhờ giao diện hiện đại, dễ sử dụng, đặc biệt phù hợp cho giai đoạn ôn thi tăng tốc của học sinh năm 2026. Website cho phép người học làm bài nhiều lần, cung cấp đáp án chi tiết ngay sau khi nộp bài và hỗ trợ theo dõi kết quả học tập để người dùng tự đánh giá mức độ tiến bộ của bản thân. Đối với môn Toán, hệ thống câu hỏi được phân hóa khoa học từ lý thuyết cơ bản đến bài tập tình huống thực tế, giúp học sinh làm quen với cấu trúc ra đề thi thực tế và nâng cao khả năng xử lý bài tập dưới áp lực thời gian. Nhờ đó, quá trình ôn luyện trở nên chủ động hơn, giúp các sĩ tử tiết kiệm thời gian và củng cố niềm tin vững chắc trên con đường chinh phục cánh cửa Đại học.
ĐỀ THI
LINK PDF ĐỀ THI [gồm ĐỀ THI, ĐÁP ÁN, LỜI GIẢI]:
Nội dung đề thi
PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục, không âm trên đoạn $[a; b]$. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ quanh trục hoành, ta được một khối tròn xoay có thể tích là
A. $V = \pi \int\limits_{a}^{b} [f(x)]^2 \text{d}x$.
B. $V = \int\limits_{a}^{b} [f(x)]^2 \text{d}x$.
C. $V = \int\limits_{a}^{b} |f(x)| \text{d}x$.
D. $V = \pi \int\limits_{b}^{a} [f(x)]^2 \text{d}x$.
Câu 2. Khảo sát thu nhập theo tháng (đơn vị: triệu đồng) của 22 người chạy xe công nghệ người ta thu được bảng số liệu sau:
| Thu nhập | $[3; 5)$ | $[5; 7)$ | $[7; 9)$ | $[9; 11)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số người | $4$ | $10$ | $5$ | $3$ |
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên bằng
A. $7$.
B. $4$.
C. $6$.
D. $8$.
Câu 3. Biết $\int\limits_{1}^{3} f(x) \text{d}x = 3$. Giá trị của $\int\limits_{1}^{3} [f(x) + 3] \text{d}x$ bằng
A. $6$.
B. $9$.
C. $3$.
D. $5$.
Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, đường thẳng đi qua điểm $M(1; 0; 3)$ và nhận $\overrightarrow{u} = (0; 1; -2)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình tham số là
A. $begin{cases} x = 1 \ y = t \ z = 3 + 2t end{cases}$.
B. $begin{cases} x = 1 + t \ y = t \ z = 3 – 2t end{cases}$.
C. $begin{cases} x = 1 \ y = t \ z = 3 – 2t end{cases}$.
D. $begin{cases} x = t \ y = 1 \ z = -2 + 3t end{cases}$.
Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = x^2 + 1$, $x = -1$, $x = 2$ và trục hoành bằng
A. $16$.
B. $\frac{13}{6}$.
C. $6$.
D. $13$.
Câu 6. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x – y + 3 = 0$. Đường thẳng $Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có một vectơ chỉ phương là
A. $\overrightarrow{u}_3 = (2; -1; 3)$.
B. $\overrightarrow{u}_2 = (2; 1; 0)$.
C. $\overrightarrow{u}_1 = (2; -1; 0)$.
D. $\overrightarrow{u}_4 = (2; 1; 3)$.
Câu 7. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $M(1; 2; -3)$ và nhận $\overrightarrow{n} = (1; -2; 3)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình tổng quát là
A. $x – 2y – 3z + 6 = 0$.
B. $x – 2y + 3z + 12 = 0$.
C. $x – 2y + 3z – 12 = 0$.
D. $x – 2y – 3z – 6 = 0$.
Câu 8. Cho các biến cố $A, B$ thỏa mãn $P(AB) = \frac{3}{10}$, $P(A \mid B) = \frac{9}{20}$. Giá trị của $P(B)$ bằng
A. $\frac{2}{3}$.
B. $\frac{27}{200}$.
C. $\frac{3}{4}$.
D. $\frac{3}{20}$.
Câu 9. Nhiệt độ trong 55 ngày của một địa phương được cho trong bảng ghép nhóm sau:
| Nhiệt độ ($^circ$C) | $[19; 22)$ | $[22; 25)$ | $[25; 28)$ | $[28; 31)$ | $[31; 34)$ | $[34; 37)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số ngày | $5$ | $7$ | $8$ | $16$ | $12$ | $7$ |
Phương sai của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào dưới đây?
A. $(20; 21)$.
B. $(17; 19)$.
C. $(23; 25)$.
D. $(19; 20)$.
Câu 10. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a; b]$ và $f(a) = -2, f(b) = -4$. Giá trị của $\int\limits_{a}^{b} f'(x) \text{d}x$ bằng
A. $-2$.
B. $6$.
C. $-6$.
D. $2$.
Câu 11. Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(Oxy)$ có phương trình là
A. $z = 0$.
B. $x = 0$.
C. $x – y = 0$.
D. $y = 0$.
Câu 12. Một mẫu số liệu có phương sai là $6,25$. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó bằng
A. $12,5$.
B. $42,25$.
C. $3,125$.
D. $2,5$.
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1. Một cái cổng hình parabol được gắn vào hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên với đơn vị trên mỗi trục là mét. Chiều cao $GO = 4\text{ m}$, chiều rộng $AB = 4\text{ m}$, $AC = BD = 0,9\text{ m}$. Người ta làm hai cánh cổng khi đóng lại thành hình chữ nhật $CDEF$ (phần tô đậm) với giá $1,500,000\text{ đồng/m}^2$, phần còn lại làm khung hoa sắt với giá $1,000,000\text{ đồng/m}^2$. [[[IMG_1]]]
a) Tọa độ điểm $G$ là $(4; 0)$. __________
b) Phương trình đường parabol mô tả hình dạng của cổng là $y = -x^2 + 4$. __________
c) Diện tích của hình chữ nhật $CDEF$ nhỏ hơn $6\text{ m}^2$. __________
d) Chi phí để làm cả hai phần của cổng vượt quá $13\text{ triệu đồng}$. __________
Đáp án: Đ|S|Đ|S
Câu 2. Một cửa hàng có hai loại bóng đèn Led, trong đó có $65%$ bóng đèn Led là màu trắng và $35%$ bóng đèn Led là màu xanh, các bóng đèn có kích thước như nhau. Các bóng đèn Led màu trắng có tỉ lệ hỏng là $2%$ và các bóng đèn Led màu xanh có tỉ lệ hỏng là $3%$. Một khách hàng chọn mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn Led từ cửa hàng. Xét các biến cố:
$A$: “Khách hàng chọn được bóng đèn Led màu trắng”;
$B$: “Khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng”.
a) $P(\overline{A}) = 0,65$. __________
b) $P(B \mid A) = 0,02$. __________
c) $P(B \mid \overline{A}) = 0,03$. __________
d) $P(B) = 0,9765$. __________
Đáp án: Đ|S|Đ|S
Câu 3. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 0; -2)$, $B(-1; 2; 4)$, $C(2; 0; 1)$. Gọi $(P)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $BC$.
a) $\overrightarrow{BC} = (3; -2; -3)$. __________
b) Đường thẳng $BC$ có phương trình chính tắc là $\frac{x – 2}{3} = \frac{y}{-2} = \frac{z + 1}{-3}$. __________
c) Phương trình của mặt phẳng $(P)$ là $3x – 2y – 3z – 9 = 0$. __________
d) Hoành độ giao điểm của đường thẳng $BC$ với mặt phẳng $(P)$ có giá trị âm. __________
Đáp án: Đ|S|Đ|S
Câu 4. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 2x + y – 3z + 1 = 0$ và hai điểm $A(1; 2; -1)$, $B(2; 1; 0)$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $A, B$ và vuông góc với $(P)$.
a) Mặt phẳng $(P)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}_P = (2; 1; -3)$. __________
b) Mặt phẳng $(Q)$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}_Q = (2; 1; -3)$. __________
c) Phương trình mặt phẳng $(Q)$ có dạng $ax + by + cz + 9 = 0$. Khi đó $a + b + c = -10$. __________
d) Khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(Q)$ bằng $\frac{15sqrt{38}}{38}$. __________
Đáp án: Đ|S|Đ|S
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): 2x – y – z – 3 = 0$ và $(Q): x – z – 2 = 0$. Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ bằng bao nhiêu độ?
Đáp án: __________
Câu 2. Trực thăng cứu hộ Alpha cất cánh lúc 10 giờ 00 từ điểm xuất phát $A$. Nó bay thẳng với vận tốc $300\text{ km/h}$ tới đỉnh núi $D$, nơi xảy ra tai nạn. Cùng lúc đó, trực thăng Beta cất cánh từ đỉnh núi $T$ với vận tốc $350\text{ km/h}$ để đưa du khách về vị trí $B$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ như hình vẽ với đơn vị trên các trục là kilomet sao cho $A(10; 6; 0)$, $D(4; -3; 3)$, $T(7; -8; 3)$, $B(4; 16; 0)$. Cho biết hai trực thăng có đường bay giao nhau tại $S$. Khi Alpha tới $S$ thì Beta đã đi qua $S$ trước đó một khoảng thời gian bằng bao nhiêu giây (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? [[[IMG_2]]]
Đáp án: __________
Câu 3. Khảo sát thời gian sử dụng điện thoại trong một ngày của 42 em học sinh trong một lớp học người ta thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
| Thời gian (phút) | $[0; 20)$ | $[20; 40)$ | $[40; 60)$ | $[60; 80)$ | $[80; 100)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | $8$ | $10$ | $15$ | $6$ | $3$ |
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên bằng bao nhiêu?
Đáp án: __________
Câu 4. Khi khảo sát thị trường người ta thấy có $22,5%$ khách hàng sử dụng sản phẩm $X$, $50%$ dùng sản phẩm $Y$. Trong số người dùng sản phẩm $Y$ có $36,5%$ dùng sản phẩm $X$. Xác suất một người dùng sản phẩm $Y$, biết rằng người đó không dùng sản phẩm $X$ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?
Đáp án: __________
Câu 5. Một người thiết kế mô hình một cái đèn ngủ có hình dạng như hình vẽ 3D ở hình 1. Hình 2 là mặt cắt được cắt bởi mặt phẳng đi qua trục của đèn, hình 3 là bản vẽ toán học. Tam giác $ABC$ trong hình 3 là tam giác đều cạnh bằng $4sqrt{3}\text{ dm}$ có trọng tâm là $G$ và $M, N, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC, AC, AB$. Phần tô đậm trong hình 3 được tạo bởi phần giao nhau của các cặp đường tròn ngoại tiếp $Delta AGB$ và $Delta AGC$; $Delta PGN$ và $Delta PGM$; $Delta PGN$ và $Delta NGM$ (xem hình vẽ). Biết rằng chiếc đèn ngủ được tạo thành khi xoay phần tô đậm trong hình 3 quanh trục là đường thẳng $AM$. Chi phí trung bình để sản xuất chiếc đèn ngủ là $80,000\text{ đồng}$ trên mỗi $\text{dm}^3$. Chi phí để sản xuất đèn ngủ trên bằng bao nhiêu nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? [[[IMG_3]]]
Đáp án: __________
Câu 6. Biết $\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} (e^x – 2cos x)\text{d}x = e^{\frac{a\pi}{b}} – c$, trong đó $a, b, c in mathbb{Z}$; $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của $a + b + c$ bằng bao nhiêu?
Đáp án: __________
