Đề thi cuối kì 1 Toán 12 năm 2026 Sở GDĐT Bắc Ninh

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn.
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(3; 1; -1)$ và $B(-1; 5; 7)$. Toạ độ trung điểm $M$ của $AB$ là
A. $(1; 3; 3)$.
B. $(-2; -6; -6)$.
C. $(2; 6; 6)$.
D. $(-1; 3; -3)$.

Câu 2. Cho hàm số $y = f(x)$ có tập xác định là $\mathbb{R} \setm\inus {2}$ và có bảng xét dấu của $f'(x)$ như sau:

Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
A. $4$.
B. $3$.
C. $1$.
D. $2$.

Câu 3. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Đẳng thức nào sau đây là sai?
[[[IMG_1]]]
A. $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CC’} = \overrightarrow{AD’} + \overrightarrow{D’C’}$.
B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD’}$.
C. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D’C’}$.
D. $\overrightarrow{AC’} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}$.

Câu 4. Nếu hàm số $y = f(x)$ có một nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ là hàm số $y = F(x)$ thì
A. $F'(x) = f(x), \forall x \in \mathbb{R}$.
B. $f'(x) = F(x), \forall x \in \mathbb{R}$.
C. $f'(x) = F(x) + C, (C \in \mathbb{R}) \forall x \in \mathbb{R}$.
D. $F'(x) = f(x) + C, (C \in \mathbb{R} \setm\inus {0}), \forall x \in \mathbb{R}$.

Câu 5. Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = 2x – 4, \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. $(-\infty; -4)$.
B. $(0; +\infty)$.
C. $(2; +\infty)$.
D. $(-4; 2)$.

Câu 6. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = ln |x| + C, C \in \mathbb{R}$.
B. $\int ln x \mathrm{d}x = x + C, C \in \mathbb{R}$.
C. $\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = |x| + C, C \in \mathbb{R}$.
D. $\int ln |x| \mathrm{d}x = ln x + C, C \in \mathbb{R}$.

Câu 7. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào sau đây?
[[[IMG_2]]]
A. $y = \frac{x + 1}{x – 1}$.
B. $y = \frac{x – 1}{x + 1}$.
C. $y = \frac{-2x + 1}{x – 1}$.
D. $y = \frac{x + 2}{x + 1}$.

Câu 8. Phát biểu nào sau đây là đúng?
A. $\int \sin x \mathrm{d}x = cos x + C, C \in \mathbb{R}$.
B. $\int \sin x \mathrm{d}x = -cos x + C, C \in \mathbb{R}$.
C. $\int \sin x \mathrm{d}x = \sin x + C, C \in \mathbb{R}$.
D. $\int \sin x \mathrm{d}x = -\sin x + C, C \in \mathbb{R}$.

Câu 9. Cho hàm số $y = f(x)$ có $lim_{x to +\infty} f(x) = 2$, $lim_{x to -\infty} f(x) = +\infty$.
A. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.
B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng có phương trình $x = 2$.
C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận ngang.

Câu 10. Trong không gian $Oxyz$, cho các vectơ $\overrightarrow{a} = (1; 2; 3)$, $\overrightarrow{b} = (-2; 4; 1)$, $\overrightarrow{c} = (-1; 3; 4)$. Vectơ $\overrightarrow{v} = 2\overrightarrow{a} – 3\overrightarrow{b} + 5\overrightarrow{c}$ có toạ độ là
A. $(7; 23; 3)$.
B. $(7; 3; 23)$.
C. $(23; 7; 3)$.
D. $(3; 7; 23)$.

Câu 11. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn $[0; 4]$. Giá trị của $M – m$ bằng
[[[IMG_3]]]
A. $1$.
B. $4$.
C. $6$.
D. $5$.

Câu 12. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $AB’$ và $CD’$. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
[[[IMG_4]]]
A. $\overrightarrow{A’I} = \overrightarrow{CJ}$.
B. $\overrightarrow{D’A’} = \overrightarrow{IJ}$.
C. $\overrightarrow{B’I} = \overrightarrow{D’J}$.
D. $\overrightarrow{A’I} = \overrightarrow{JC}$.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai.
Câu 1. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0; -2; 1)$, $B(-2; -2; -1)$, $C(3; 1; -2)$.
a) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $D$ có toạ độ là $(5; 0; 1)$. __________
b) Tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $A$. __________
c) Hình chiếu của $A$ lên mặt phẳng $(Oxy)$ là $A'(0; -2; 0)$. __________
d) Trọng tâm của tam giác $ABC$ là điểm $G(1; -3; -2)$. __________
Đáp án: Đ|S|Đ|S

Câu 2. Cho hàm số $y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$ (với $a, b, c, m, n$ là hằng số) có đồ thị là đường cong như hình bên.
[[[IMG_5]]]
a) Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận xiên $y = x + 1$. __________
b) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-2; 0)$. __________
c) Đồ thị của hàm số đã cho có tiệm cận đứng $x = -1$. __________
d) Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là điểm $I(0; -1)$. __________
Đáp án: Đ|S|Đ|S

Câu 3. Khi đun nước, nhiệt độ ban đầu của nước trong ấm là $20^\circ\text{C}$ và tăng dần với tốc độ $T_1′(t) = 75e^{-t}$ ($^\circ\text{C}$/phút), trong đó $t geq 0$ (phút) là thời gian tính từ lúc bếp được bật lên. Khi nước trong ấm đạt $85^\circ\text{C}$ thì bếp được tắt đi và nhiệt độ $T^\circ\text{C}$ của nước trong ấm khi này xác định theo công thức $T_2(t) = 15 + ae^{\frac{-t}{20}}$ với $t geq 0$, trong đó $a$ là hằng số và $t$ (phút) là thời gian tính từ lúc tắt bếp.
a) Giá trị của $a$ bằng $70$. __________
b) Sau khoảng $180$ giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) kể từ lúc bật bếp thì nước trong ấm đạt $85^\circ\text{C}$. __________
c) $T_1(t) = 95 – 75e^{-t}$. __________
d) Sau khoảng $25$ phút (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) kể từ lúc bật bếp thì nhiệt độ của nước trong ấm giảm xuống tới $40^\circ\text{C}$. __________
Đáp án: Đ|S|Đ|S

Câu 4. Người ta ước tính rằng số lượng cá thể của một loài trong tự nhiên $t$ năm sau khi chính sách bảo vệ được thiết lập có thể được mô hình hoá bằng hàm số $N(t) = \frac{20(m + 1 + 3t)}{1 + 0,05t}$, $t geq 0$ (ở đó $m$ là hằng số). Biết rằng số lượng cá thể của loài đó tại thời điểm khi bắt đầu thiết lập chính sách bảo vệ là $80$ con.
a) Số lượng cá thể của loài đó không bao giờ vượt quá $1200$ con. __________
b) Cần ít nhất $10$ năm kể từ khi chính sách bảo vệ được thiết lập để số lượng cá thể của loài đó vượt mức $500$ con. __________
c) Giá trị của $m$ là $m = 3$. __________
d) Sau khi chính sách bảo vệ được thiết lập, số lượng cá thể của loài đó lúc đầu tăng nhưng sau đó sẽ giảm dần. __________
Đáp án: Đ|S|Đ|S

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.
Câu 1. Một cửa hàng ước tính, nếu trong một tháng bán được $x$ tấn nông sản A ($0 leq x leq 37$) thì doanh thu đạt được là $D(x) = -0,001x^3 – 0,5x^2 + 20x$ (triệu đồng). Hỏi doanh thu lớn nhất cửa hàng đó có thể thu được trong một tháng khi bán nông sản A là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đáp án: __________

Câu 2. Ba lực $\overrightarrow{F_1} = \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{F_2} = \overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{F_3} = \overrightarrow{OC}$ cùng tác động vào một vật tại điểm $O$, có phương đôi một vuông góc nhau và có độ lớn lần lượt là $3\text{ N}$, $4text{ N}$, $12\text{ N}$. Độ lớn hợp lực của ba lực đã cho bằng bao nhiêu N?
[[[IMG_6]]]
Đáp án: __________

Câu 3. Kí hiệu $h(x)$ là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao $3text{ m}$; trong các năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $h'(x) = \frac{sqrt{2}}{x}$ (tính theo mét/năm). Chiều cao của cây đó sau $5$ năm bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?
Đáp án: __________

Câu 4. Một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích $60\text{ dm}^3$, đáy là hình chữ nhật có chiều dài bằng $\frac{5}{3}$ chiều rộng. Gọi $S$ ($\text{dm}^2$) là tổng diện tích tất cả các mặt của cái hộp đó. Giá trị nhỏ nhất của $S$ bằng bao nhiêu $text{dm}^2$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Đáp án: __________

Câu 5. Cho hàm số đa thức bậc ba $y = f(x)$ có bảng biến thiên như hình vẽ. Giá trị $f(5)$ bằng bao nhiêu?
[[[IMG_7]]]
Đáp án: __________

Câu 6. Trong một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài $8text{ m}$, rộng $6text{ m}$ và cao $4text{ m}$ có hai chiếc quạt treo tường. Chiếc quạt thứ nhất treo tại vị trí điểm $A$ ở chính giữa bức tường $8text{ m}$ và cách trần $1text{ m}$; chiếc quạt thứ hai treo tại vị trí điểm $B$ ở chính giữa bức tường $6text{ m}$ và cách trần $1,2text{ m}$ (tham khảo hình vẽ dưới đây). Khoảng cách giữa hai vị trí treo quạt bằng bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
[[[IMG_8]]]
Đáp án: __________