Đề thi giữa kì 2 Toán 12 năm 2025 2026 THPT Hùng Vương – Đà Nẵng

PHẦN I. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 9. Mỗi câu hỏi học sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1. Biết $\int_{2}^{3} f(x)\text{d}x = 5$ và $\int_{2}^{3} g(x)\text{d}x = -2$. Khi đó $\int_{2}^{3} [f(x) + g(x)]\text{d}x$ bằng:
A. $-7$.
B. $3$.
C. $-3$.
D. $7$.

Câu 2. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x – y + 3z + 2026 = 0$. Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$?
A. $\vec{n} = (1; -1; 3)$.
B. $\vec{n} = (1; 3; -1)$.
C. $\vec{n} = (-1; 1; 3)$.
D. $\vec{n} = (1; -1; 2026)$.

Câu 3. Diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2x^2 – x$, $y = 0$, $x = 0$ và $x = 1$ được tính bởi công thức nào sau đây?
A. $S = \int_{0}^{1} (2x^2 – x)^2 \text{d}x$.
B. $S = \int_{0}^{1} (2x^2 – x) \text{d}x$.
C. $S = \int_{0}^{1} |2x^2 – x| \text{d}x$.
D. $S = \pi \int_{0}^{1} |2x^2 – x| \text{d}x$.

Câu 4. Cho hàm số $f(x)$ và $g(x)$ liên tục trên $mathbb{R}$. Khẳng định nào sau đây sai?
A. $\int f(x).g(x)\text{d}x = \int f(x)\text{d}x.\int g(x)\text{d}x$.
B. $\int f'(x)\text{d}x = f(x) + C$.
C. $\int [f(x) + g(x)]\text{d}x = \int f(x)\text{d}x + \int g(x)\text{d}x$.
D. $\int [f(x) – g(x)]\text{d}x = \int f(x)\text{d}x – \int g(x)\text{d}x$.

Câu 5. Cho hàm số $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $K$. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. $\int f'(x)\text{d}x = f(x) + C$.
B. $f'(x) = F(x)$.
C. $\int f(x)\text{d}x = F(x) + C$.
D. $F'(x) = f(x)$.

Câu 6. Viết công thức tính thể tích $V$ của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a, x = b (a lt b)$, xung quanh trục $Ox$.
A. $V = \int_{a}^{b} |f(x)|\text{d}x$.
B. $V = \pi \int_{a}^{b} f(x)\text{d}x$.
C. $V = \int_{a}^{b} f^2(x)\text{d}x$.
D. $V = \pi \int_{a}^{b} f^2(x)\text{d}x$.

Câu 7. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[a; b]$. Chọn mệnh đề đúng.
A. $\int_{a}^{b} f(x)\text{d}x = F(b) – F(a)$.
B. $\int_{a}^{b} f(x)\text{d}x = F(b) + F(a)$.
C. $\int_{a}^{b} f(x)\text{d}x = F^2(b) – F^2(a)$.
D. $\int_{a}^{b} f(x)\text{d}x = F(a) – F(b)$.

Câu 8. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^x$.
A. $\int 2^x \text{d}x = \frac{2^x}{ln x} + C$.
B. $\int 2^x \text{d}x = 2^x ln 2 + C$.
C. $\int 2^x \text{d}x = \frac{2^x}{ln 2} + C$.
D. $\int 2^x \text{d}x = \frac{2^{x+1}}{x+1} + C$.

Câu 9. Trong không gian $Oxyz$, phương trình nào trong các phương trình sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?
A. $2x^2 – y + z + 2 = 0$.
B. $2xy + z = 0$.
C. $\frac{1}{x} + y + z – 6 = 0$.
D. $x – z + 6 = 0$.

PHẦN II. (2,0 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 2. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1. Cho hàm số $f(x) = 2x – e^x$.
a) Một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là $F(x) = x^2 – e^x + 2026$. __________
b) $f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $g(x) = 2 – e^x$. __________
c) $\int_{0}^{1} f'(x)\text{d}x = f(0) – f(1)$. __________
d) $\int_{0}^{1} f(x)\text{d}x = 2 – e$. __________
Đáp án: Đ|Đ|S|Đ

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1; -2; 0)$, $B(-3; 1; 1)$, $C(3; -1; 1)$.
a) $\vec{AB} = (-4; 3; 1)$; $\vec{AC} = (2; 1; 1)$. __________
b) Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABC)$ là $\vec{n} = (1; 3; -5)$. __________
c) Phương trình mặt phẳng $(ABC)$ là $x + 3y – 5z + 5 = 0$. __________
d) Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến mặt phẳng $(ABC)$ bằng $5$. __________
Đáp án: Đ|Đ|Đ|S

PHẦN III. (2,0 điểm) Trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4.

Câu 1. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[2025; 2026]$ thỏa mãn $f(2025) – f(2026) = 2008$. Tính giá trị của tích phân $\int_{2025}^{2026} \frac{1}{4} f'(x)\text{d}x$.
Đáp án: __________

Câu 2. Cho tích phân $I = \int_{1}^{3} |2^x – 4|\text{d}x = a + \frac{b}{c ln 2}$ với $a, b, c in mathbb{Z}$ và $\frac{b}{c}$ là phân số tối giản. Tính giá trị biểu thức $P = a^2 + b^2 + c^2$.
Đáp án: __________

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A(0; 1; 1)$ và $B(1; 2; 3)$. Phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ có dạng $x + by + cz + d = 0$. Tính giá trị của $Q = b^3 + c^3 + d^3$.
Đáp án: __________

Câu 4. Cho hình vuông $OABC$ cạnh bằng $10$, điểm $M$ nằm trong hình vuông sao cho khoảng cách từ $M$ đến các cạnh $OA$ và $OC$ đều bằng $4$. Parabol $(P_1)$ đi qua các điểm $O, A, M$; parabol $(P_2)$ đi qua các điểm $O, C, M$. Tính diện tích phần tô đậm trong hình vẽ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: __________

PHẦN IV. (3,0 điểm) Tự luận.

Câu 1. Tìm $\int sin x \text{d}x$.

Câu 2. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $[a; b]$, đồ thị hàm số $y = f(x)$ cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ lần lượt là $a$, $0$ và $b$ (với $a lt 0 lt b$). Biết $\int_{a}^{0} f(x)\text{d}x = -\frac{22}{13}$ và $\int_{0}^{b} f(x)\text{d}x = -\frac{25}{13}$. Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = f(x)$, $y = 0$, $x = a$ và $x = b$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

Câu 3. Đêm ngày 27/2/2026, trường THPT Hùng Vương đã tổ chức đêm lửa trại nhân dịp Hội trại với chủ đề “Khát vọng cống hiến, lẽ sống thanh niên”. Ban tổ chức bố trí một đống củi ở giữa sân trường, đỉnh của đống củi tại vị trí điểm $C$. Hai cục lửa được treo tại hai điểm $A, B$ trên một thanh ngang nối hai trụ ở tầng ba của khu dạy học; thanh ngang song song với mặt sân trường và cách mặt sân $12\text{ m}$ để gây hiệu ứng chạy lửa. Biết $AB = 2a$ (với $a$ là tham số thực dương).
Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ được gắn như hình vẽ bên dưới (đơn vị trên mỗi trục là mét), mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt sân trường; $Q$ và $P$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ lên $(Oxy)$. Mặt phẳng $(Oxz)$ vuông góc với đoạn thẳng $PQ$ tại trung điểm $H$ của $PQ$. Biết khoảng cách từ điểm $O$ đến mặt phẳng $(ABPQ)$ là $10\text{ m}$ và $C(0; 0; 1)$.
a) Tính tọa độ của điểm $A$ và $B$ theo tham số $a$.
b) Chứng tỏ ba điểm $A, B, C$ thuộc một mặt phẳng cố định và viết phương trình của mặt phẳng đó.